王明军 王婉柔 李勇俊

(西安理工大学自动化与信息工程学院,西安 710048)

本文基于声光效应和Gladstone—Dale 关系,推导了在平面声场扰动下,各向同性均匀大气介质和非均匀大气介质的折射率随声压变化关系式,建立了平面光波和拉盖尔-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)光束通过经平面声波扰动的均匀大气和非均匀大气介质的传输模型.结果表明,经平面声场扰动后,均匀大气介质折射率分布呈层均匀的周期性分布.对于大气压强纵向变化的大尺度角度,平面声场对非均匀大气折射率的分布情况影响不明显;而对于小尺度角度,非均匀大气折射率会随高度的增加逐渐减小,并且随声压的影响而产生波动.平面声波扰动均匀大气介质时,会使平面光波的等相位面因声波的影响产生明显波动;LG 光束相位会发生旋转,且总会回到初始相位.平面声波扰动非均匀大气介质时,会使平面光波的相位变化会随着声波的变化规律产生周期性的变化,光程整体为倾斜的平面,但由于声波的扰动,光程会产生波动;LG 光束的相位仍会发生旋转,但与均匀介质不同的是,由于其折射率随高度的变化,其相位不会回到初始相位.

1 引言

声波和光波作为携带信息的载体,在通信领域有着极为重要的地位.声波的本质是由于机械振动而引起的机械波,当声波在介质中传播时,会造成介质局部的压缩和伸长发生弹性形变,使介质的密度发生周期性变化,进而影响介质折射率的分布[1-3].光波其本质为电磁波,它是由于空间中的磁场和电场的不断变化相互激发形成的,其传输特性不仅与其振动方向和入射面有关,还与介质的特性有关.当声波和光波在同一介质中传播时,声波可以通过改变介质的密度分布,进而改变介质的折射率分布,从而影响介质的光学特性,使光波的传输特性发生改变.因此,对于一些可以同时传播声光的光学介质,可以利用声波对光波的传输特性进行调控,从而达到改善通信质量的目的.

由于大气的流动性,导致了其压强和温度等物理量会随着空间坐标的变化而变化.当压强和温度等物理量改变时,大气折射率会发生一定程度的起伏,尽管起伏量比较微小,但依旧会对光传输造成影响.由于涡旋光束的波面呈螺旋分布,中心强度为零且相位不确定的特殊结构,使得涡旋光束在大气中传输时,可能相比传统的平面波更能抵制这些大气效应[4,5].而拉盖尔-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)光束作为最为基础且应用范围最广的涡旋光束,正在被人们广泛研究,已经在众多领域发挥着重要的作用.

声波和光波相互作用的现象,早在上世纪30年代,Debye和Sils 就从实验中观察到了声光衍射效应,但是由于条件的限制,并没有得到很大的应用.1979 年,Weisbuch和Garbay[6]首次提出了使用声光衍射技术检测水表面波的方法.2000 年,Pitts和Greenleaf[7]通过双透镜成像系统记录准直激光脉冲与超声场相互作用所产生的前向散射光强,从而利用三维光学测量方法测量了超声脉冲在水中传播时的瞬时压力.2006 年,Yamaguchi和Choi[8]使用光束偏转法探测了水中的聚焦声场.2012 年,周慧婷等[9]通过研究焦点声压和光线偏转的关系,建立了焦点声压与光线偏转距离之间的关系模型,计算出了焦点峰值声压.2013 年,Farhat等[10]通过声和光相互作用激发石墨烯表面等离子体激元.2016 年,Ishikawa等[11]通过考虑光的相位与声场的物理关系计算获得了声场信息,首次实现了空气中声场的单次测量.之前的研究中,声场的使用大都采用了超声声场,但是由于超声波在大气中极易损耗,故应用场景基本都为水下环境,因此为了满足实际应用的需求,研究声光在大气介质中的相互作用是十分有必要的.

本文基于声光效应的基本原理,通过Gladstone-Dale 关系,分别推导了在不同声源扰动下,各向同性均匀大气介质的折射率随声压变化关系式.并进一步研究了在压强随高度变化的现实非均匀大气环境中,平面声波对非均匀大气折射率的影响情况,通过数值模拟得到了经声波扰动后均匀大气和非均匀大气的折射率分布情况.随后建立了平面光波和LG 光束经平面声波扰动的均匀和非均匀大气介质的传输模型.分别数值模拟了平面声波扰动均匀和非均匀大气时,平面光波和LG 光束的相位随大气高度和传输距离的变化情况.分析了在均匀和非均匀大气介质中,平面声场对平面光波和LG光束的相位传输特性的影响规律,进而实现声场对光波相位的调控.

2 声波扰动大气介质的折射率分布情况

2.1 不同类型声源扰动均匀大气介质的折射率分布

由Gladstone-Dale 关系[12]可知,折射率和密度之间满足的定量关系式为

其,n为折射率;ρ为密度.

声音引起的密度变化一般可以看做绝热变化,因此密度和声压之间的关系可以写为

式中,p0101325 Pa 为静态条件下地表附近的大气压强,ρ0为静态条件下的密度;p为声压;γ为比热比.结合(1)式和(2)式,并对声压p进行泰勒展开,可以得到当声波扰动时均匀介质的折射率和声压之间的关系为

由于(3)式与其一阶近似在数百帕斯卡的声压范围内的折射率误差近似为10—11,其精度非常高[13],因此在此声压范围内都可以用一阶近似来表示声波扰动时,均匀介质折射率和声压之间的关系.

已知平面波声源声压[14]可以表示为

其,pA为声压幅值;ks为声波波数;ωs2πfs为声波角频率;fs为声波频率;t为时间.将其代入(3)式的一阶近似中,取其实部进行计算,可得到平面声波扰动时均匀介质折射率随声压的变换关系为

式中,n0为未加入声波时均匀介质的折射率;p(x,t)为在t时刻x高度处的声压;Δn(x,t)为由声波引起的介质的折射率变化.

同理,球面波声源声压[15]可以表示为(球坐标系):

取其实部进行计算,则球面声波扰动时均匀介质折射率随声压的变换关系为式中,r为球形声源沿该方向的传播距离;r0为球形声源的半径.

柱面波声源声压[16]可以表示为(柱坐标系)

取其实部进行计算,则柱面声波扰动时均匀介质折射率随声压的变换关系为

由于大气折射率的值一般只在小数点后五到六位变化,因此为了便于分析大气折射率的变化情况,引入大气折射度N来表示大气折射率n,它们之间的关系为[17]

建立如图1 所示平面直角坐标系,假设平面波声源位于yoz平面,球面波声源位于原点o处,柱面波声源位于y轴方向,均匀介质处于xoz平面的局部区域中,分析不同类型声源在xoz平面形成的声场对此均匀介质折射率的扰动情况.图1 中黑色虚线为平面波声源在此局部区域所导致的折射率分布,红色虚线为球面波和柱面波声源在此局部区域所导致的折射率分布.

图1 参考坐标系及不同类型声源所导致均匀介质折射率分布示意图Fig.1.Reference coordinate system and schematic diagram of refractive index distribution of uniform medium caused by different types of sound sources.

根据(5)式、(7)式和(9)式进行数值模拟,当n01.000279,γ1.41,p0101325 Pa,声源频率fs1000 Hz,声压pA10 Pa,t0 时,图2和图3分别为不同声源扰动均匀介质后的折射率三维和二维分布情况.由图2和图3 可以看出,不同的声源类型扰动大气会使大气折射率分布出现不同的情况.平面波声源扰动后其折射率分布呈层均匀的周期性分布,且每层的折射率都相同;球面波和柱面波声源扰动后的折射率分布在声场区域的折射率都呈四分之一圆形分布,每层的折射率分布不均匀.而由于柱面波声源相当于沿y轴的无限个球面波声源叠加所形成的,因此虽然其与球面波声源的波动情况类似,但从图2和图3 中可以看出,在同一频率和声压下,柱面波声源的折射率分布条纹更加明显,即声源的扰动更大,折射率变化更加明显.因此在平面波声源的扰动下,大气折射率的分布会因声场的影响而改变为规律的周期性分布.由于平面波声源扰动介质后其折射率分布的这一特点,与压强随高度变化的非均匀大气情况类似,即就是在局部区域内,折射率仅随高度变化,并不随距离变化.而当光束在非均匀大气中传输时,若选用球面波声源或柱面波声源进行扰动,大气折射率不仅会随高度变化,还会随距离而变化,使在传输时光束的相位不断发生改变,从而无法达到调控目的.因此在后续讨论非均匀大气,实现声场对光束相位的调控时,选择平面波声源进行进一步研究.

图2 不同声源扰动均匀介质折射率分布三维图 (a)平面波声源;(b)球面波声源;(c)柱面波声源Fig.2.Three-dimensional diagram of refractive index distribution of homogeneous medium perturbed by different sound sources: (a)Plane wave sound source;(b)spherical wave sound source;(c)cylindrical wave sound source.

图3 不同声源扰动均匀介质折射率分布二维图 (a)平面波声源;(b)球面波声源;(c)柱面波声源Fig.3.Two-dimensional diagram of the refractive index distribution of homogeneous medium perturbed by different sound sources: (a)Plane wave sound source;(b)spherical wave sound source;(c)cylindrical wave sound source.

2.2 平面波声源扰动非均匀大气介质的折射率分布

在现实大气环境中,大气压强会随着高度的升高而降低,从而导致大气折射率也随着高度而变化,使大气介质不在是均匀的,而是呈现非均匀的类似分层的结构.2002 年,Rüeger[18]通过大量的研究和总结,在可见光和近红外波对前人的大气折射率公式进行了修正和简化,在保留了精度的同时,使计算更加简便.在不考虑二氧化碳含量和相对湿度的情况下,Rüeger 公式可以简化为

式中,P为实际大气压强,单位为Pa;Ns为指定标准大气的大气折射度;ns为指定标准大气的折射率;λ为光学波长;T为热力学温度;

假定大气是等温的,根据玻尔兹曼分布,可以得到大气中任一气体的气压和密度随高度的变化公式:

式中,µ28.9635 g/mol 为大气摩尔质量;R8.314510 J·mol-1·K-1为普遍大气常数;g为重力加速度;h为高度;H为标高,当T为常数时,HRT/gµ.

将(13)式代入到(12)式中可得在折射率随高度变化的非均匀大气的大气折射率为

将n0代入(5)式中可得非均匀大气介质中大气折射率随声压变化的公式为

对(15)式进行数值模拟,当p100 Pa,fs1000 Hz时,图4 反应了平面波声源扰动时,非均匀大气折射率随高度和距离的变化情况.由图4(a)可知,从大气压强纵向变化的大尺度角度来看,当大气高度取0—10 km 时,由于大气压强变化的非常剧烈,远远超过声压,因此声波对非均匀大气折射率的分布情况影响并不是很明显.但是将大气压强变化的纵向尺度缩小,只考虑局部情况,取0—60 m 时,如图4(b)所示,可以明显的看到其折射率随着高度的增加在逐渐减小,并且产生波动.

图4 声波扰动非均匀大气介质折射率随高度和距离变化 (a)大气压强纵向变化大尺度;(b)大气压强纵向变化小尺度Fig.4.Variation of refractive index with height and distance of inhomogeneous atmospheric medium perturbed by acoustic waves:(a)Large-scale longitudinal variation of atmospheric pressure;(b)small-scale longitudinal variation of atmospheric pressure.

改变声波频率,当声波频率分别为500,1000,2000和5000 Hz 时,非均匀介质大气折射率随高度的变化如图5(a)所示;改变声压,当声压分别为0,0.1,1,10和100 Pa 时,大气折射率随高度变化情况如图5(b)所示.从图5 中可以看出,声波会使非均匀大气的折射率分布发生改变,使其折射率在随着高度的增加逐渐减小的同时,还会围绕未加入声波时的折射率曲线进行规律的波动.在声场范围一定的情况下,当声波的频率改变时,会影响折射率的分布;当声波的声压变化时,会影响介质折射率的大小,声压越大,折射率改变的越大.

图5 非均匀介质折射率随高度变化曲线 (a)不同声波频率;(b)不同声压Fig.5.Variation curve of refractive index of inhomogeneous medium with height: (a)Different sound wave frequencies;(b)different sound pressures.

3 大气介质中平面声波对光波相位传输特性的影响

3.1 大气介质中平面声波对平面光波相位传输特性的影响

假设入射平面光波波长λ=1550 nm,沿z轴正向进入声场,传播方向与声波方向垂直,图6 为平面光波通过经平面声场扰动的大气介质的模型.

图6 平面光波通过平面声场扰动的大气介质模型Fig.6.The atmospheric medium model of plane light wave perturbed by plane sound field.

由(5)式和(15)式可知,当平面声波扰动均匀和非均匀大气介质时,其介质的折射率由两部分构成,一部分为介质本身的折射率n0,另一部分为由声场引起的折射率变化 Δn.

故由声场引起的光程变化为[11]

式中,z为描述沿路径c的距离的参数,c为积分路径.

则由声场引起的光学波前相位变化为

式中,k为光波的波数.

而光程可以表示为

将(5)式和(15)式的相关量代入(17)式和(18)式中,即可得到声场扰动均匀和非均匀大气介质后平面光波的光程和相位变化.分别对其进行数值模拟,图7和图8 为平面光波通过声波扰动的均匀大气介质后的相位变化和光程.由图7和图8 可以看出,平面光波通过平面声波扰动的均匀大气介质后会改变其光程和相位分布,使其光程和相位分布呈规律的周期性波动.当平面光波未通过声场或通过没有声场的大气介质时,其等相位面是一个平面,而当平面光波通过声场后,其等相位面会因声波的波动而变为波浪形状.

图7 均匀大气介质中平面光波的相位变化 (a)未进入声场(z=0 m,p=10 Pa);(b)通过声场后(z=20 m,p=10 Pa)Fig.7.Phase change of plane light waves in homogeneous atmospheric medium: (a)Without entering the sound field (z=0 m,p=10 Pa);(b)after passing through the sound field (z=20 m,p=10 Pa).

图8 均匀大气介质中平面光波的光程 (a)无声场(z=20 m,p=0 Pa);(b)有声场(z=20 m,p=10 Pa)Fig.8.Optical path of plane light waves in homogeneous atmospheric medium: (a)Without sound field (z=20 m,p=0 Pa);(b)with sound field (z=20 m,p=10 Pa).

图9和图10 为平面光波通过声波扰动的非均匀大气介质后的相位变化和光程.由图9和图10可知,由于非均匀大气自身的折射率会随高度变化,因此当平面光波未通过声场时,其相位变化为0;通过无声场的非均匀大气介质时,光程会由一个垂直的平面变为倾斜的平面;加入声场后,其相位变化会随着声波的变化规律产生周期性的变化,光程整体与未加入声场时相同,为倾斜的平面,但是由于声波的扰动,光程会产生波动.

3.2 大气介质中平面声波对涡旋光束相位传输特性的影响

由于理想平面波的波前是无限大平面,而LG光束的波前是螺旋状分布,其光束的直径远小于介质的长度,因此,不能像平面光波整体分析其通过声场的相位变化,但可以通过分析光束在同一位置分别经过不同高度时的相位变化情况来总结其整体的变化规律.

图11 为LG 光束通过经平面声波扰动的大气介质模型,假设入射LG 光束波长λ=1550 nm,沿z轴正向进入声场,传播方向与声波方向垂直,在同一时刻从不同高度分别入射进入经声场扰动的均匀大气介质中,在取值时分别取图12 折射率随高度变化曲线的波峰波谷和中间位置的相位进行分析.

图11 LG 光束通过平面声场扰动的大气介质模型Fig.11.The atmospheric medium model of LG beam perturbed by the plane sound field.

图12 均匀介质折射率随高度变化曲线Fig.12.Variation curve of refractive index of homogeneous medium with height.

LG 光束在介质中传输的场分布可以表示为[19]

将(5)式和(15)式计算所得的经平面声场扰动后的折射率分别代入(19)式中,即可得到在经平面声场扰动的均匀大气介质和非均匀大气介质中传输到对应高度和位置的LG 光束的场分布.假设入射LG 光束束腰半径w00.002 m,拓扑荷数l=3,阶数m=0,对其在经平面声场扰动的均匀大气介质和非均匀大气介质中传输的相位特性进行数值模拟.

特别地,当平面声场扰动大气介质时,随着传输高度x的变化,LG 光束的相位会因为声场所导致的折射率改变而发生旋转;而随着传输距离z的变化,LG 光束的相位并不会发生旋转,仅仅是等相位线的弯曲而产生畸变[20,21],这是由于LG 光束自身在大气中传输所造成的,与声场无关.因此,在数值模拟时,为了便于观察由声场引起的LG 光束相位旋转情况,选择数值模拟了当传输距离z=0,即就是LG 光束刚刚进入局域大气介质,等相位线未弯曲时,不同传输高度x下的相位进行分析,故在数值模拟结果中将看不到LG 光束的相位畸变.

图13 为LG 光束进入平面声场扰动的均匀介质其相位的变化情况,图中x为LG 光束的传输高度.由图13(a)和图13(b)可知,当LG 光束通过无声场的介质时,其相位会由于折射率的变化发生旋转.由图13(b)和图13(c)可知,加入声场后,不同高度的LG 光束的相位与未加入声场时相比发生了旋转.并且LG 光束的相位随高度的变化趋势和声波影响介质折射率随高度的变化趋势相同,都是围绕无声场时的情况周期性波动,其相位总是会回到初始相位(x=0).因此声波可以影响涡旋光束的相位,使其相位周期性旋转.

图13 LG 光束进入声场扰动的均匀介质相位随高度变化情况 (a)未进入声场;(b)进入无声场介质;(c)进入平面声场扰动的均匀介质Fig.13.The phase variation of LG beam entering the homogeneous medium disturbed by the sound field: (a)Without entering the sound field;(b)entering the medium without sound field;(c)entering the homogeneous medium disturbed by the plane sound field.

图14 为LG 光束进入平面声波扰动的大气非均匀介质其相位的变化情况.由图14(a)可知,当没有声场扰动时,由于非均匀大气介质每层的折射率本身会随高度的变化而变化,因此其相位也会随着高度的变化而发生变化.由图14(a)和图14(b)对比可知,在非均匀大气介质中加入声波后,不同高度的LG 光束的相位与未加入声波的相位相比同样发生了旋转,但与均匀介质不同的是,通过均匀介质的相位总是会旋转回到初始相位也就是x=0 时的相位.但在非均匀大气介质中,由于其折射率随高度的变化,因此,其相位是不会回到初始相位(x=0)的.

图14 LG 光束进入声场扰动的非均匀介质相位随高度变化情况 (a)进入无声场非均匀介质;(b)进入平面声场扰动的非均匀介质Fig.14.The phase variation of the LG beam entering the inhomogeneous medium disturbed by the sound field: (a)Entering the inhomogeneous medium without sound field;(b)entering the inhomogeneous medium with plane sound field disturbance.

4 结论

本文主要研究了利用平面声场扰动大气介质,对平面光波和LG 光束的相位传输特性的影响.首先推导了不同声源扰动情况下,各项同性均匀大气的折射率随声压变化的关系式.对其进行数值模拟后发现,平面波声源扰动后其折射率分布呈层均匀的周期性分布;而柱面波声源和球面波声源扰动后的折射率分布都呈现四分之一圆形分布,每层的折射率分布不均匀.因此,在平面波声源的扰动下,大气折射率的分布会因声场的影响而改变为规律性分布.并推导了在非均匀大气介质中大气折射率随平面声波声压变化的关系式.数值模拟结果表明,当从大气压强纵向变化的大尺度角度来看,由于大气压强变化剧烈,远大于声压,因此,声波对非均匀大气折射率的分布情况影响并不是很明显.但是从小尺度角度,可以明显看到其折射率随高度的增加逐渐减小,并且随声压的影响而产生波动.当改变声波频率时,会影响折射率的分布;改变声压时,会影响介质折射率的变化大小,声压越大,折射率的改变越大.随后建立了平面光波通过平面声场扰动的大气介质模型,数值模拟发现,对于均匀大气介质而言,平面声波扰动后,平面光波的光程和相位分布会发生改变,使其呈规律的周期性波动.当平面光波未通过声场或通过没有声场的大气介质时,其等相位面是一个平面;当平面光波通过声场后,等相位面会因声波的波动而变为波浪形状.对于非均匀大气介质而言,当平面光波未通过声场时,其相位变化为0;通过无声场的非均匀大气介质时,光程会由一个垂直的平面变为倾斜的平面.加入声场后,其相位变化会随着声波的变化规律产生周期性的变化,光程整体与未加入声场时相同,为倾斜的平面,但是由于声波的扰动,光程会产生波动.最后,建立了LG 光束通过平面声场扰动的大气介质模型,数值模拟结果表明,对于均匀大气介质而言,加入声场后,不同高度的LG 光束的相位与未加入声场时相比发生了旋转,并且会围绕无声场时的情况周期性波动,使其相位总是回到初始相位.对于非均匀大气介质而言,加入声波后,不同高度的LG 光束的相位与未加入声波的相位相比同样发生了旋转.但与均匀介质不同的是,在非均匀大气介质中,由于其折射率随高度的变化,因此其相位是不会回到初始相位的.本文的结论证明了,在大气介质中可以利用平面声场去调控光束的相位,为后续通过利用声波主动控制大气信道,从而有效改善光在大气信道中的传输特性提供了理论支撑.