文/ 东莞市南城中学 罗爱华

许多中考几何题一眼看去图形复杂，但仔细分析便会发现，里面其实是隐藏着“一线三等角”“一点四线两等角”等常见的几何模型。本文精选了一道中考试题，引导学生从图形特征入手，按照“缺什么作什么”的辅助线原则，巧妙构建出上述两种几何模型，最终实现了一图两模型、一题五解法。

一、精选试题

几经周折，笔者终于找到了符合上述要求的题目，即武汉市2014年中考试卷的第16 题。

如图1，在四边形ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD 的长为 .

图1

此题分值虽不高，但难度颇大，如果对几何模型缺乏深入的研究，是很难找到头绪的。

二、模型特征及其解法分析

（一）一线三等角

1.模型特征

“一线三等角”是指图中三个相等的角的顶点恰好在同一条直线上。

2.解法展示

首先要弄清下面的三个问题：

（1）为什么会想到用“一线三等角”？

因为题目给出了∠ACB=∠ADC=45°，它们的顶点C、D 恰好在直线DC 上。

（2）如何构造“一线三等角”？

本着“缺什么作什么”的辅助线原则，要构造“一线三等角”，必须在直线DC 上再找一个点，使其成为45°的角的顶点。直接的作法是：延长DC 到点E，使∠CEB=45°，但由于点E 尚未确定，无法作出∠CEB=45°。那就采用间接的办法，作∠CBE=∠ACD 交DC 的延长线于E，这就相当于∠CEB=45°，如图2。

图2

（3）构造“一线三等角”有什么用？

证明两个三角形相似，如果这两个三角形有一组对应边相等，则这两个三角形全等。

说到“一线三等角”，绝对不能忽略∠CAB 这个直角，因为“一线三等角”是经常跟直角打交道的，经过顶点A 的直线除了构成直角的AC 和AB 外，只剩下DA 了，也就是说，要想构造“一线三等角”，另外两个直角的顶点必须在直线DA上，辅助线作法：作CF⊥DA 于F，BE⊥DA 交DA 的延长线于E，如图3。

图3

（二）一点四线两等角

1.模型特征

“一点四线两等角”具有以下的特征：由某一点发出四条线段，这四条线段恰好是分别相等的两组线段，而且这四条线段所构成的诸多夹角中有两个角相等（不属于对顶角）。

2.解法展示

说句实话，笔者也不是刚开始就想到用“一点四线两等角”进行求解的，后来发挥了已知条件∠ABC=∠ACB=45°的作用，得到AC=AB 之后才恍然大悟。

（1）为什么选点A 作为“一点四线两等角”的一点？

图1上的A、B、C、D 四个点均发出了三条线段，之所以选点A，是因为只有以点A 为端点的线段出现了相等的情形（AC=AB）。

（2）为什么针对AD 来添加辅助线？

图1中以点A 为顶点的三个角中，∠CAB=90°最为特别，而AD并没有参与。

（3）怎样作辅助线？

对照“一点四线两等角”的特征，缺什么就作什么。少了一个90°的角，那就作∠DAE=90°；少了一组相等的边，那就再要求AE=AD，然后连接DE，如图4。

图4

【解法4】整个解答过程与解法3 大同小异，只有两处不同：①辅助线AE 的作法一样，但位置不同，如图5；②用“SAS”证明两个三角形全等时，证明夹角相等所用的方法不同，解法3 用的是90°与公共角∠CAE 的差，而解法4 用的则是90°与公共角∠DAC 的和。

图5

【解法5】作AE⊥DC 于E 之后，再作∠EAF=∠CAB=90°，且AF=AE，延长DC 交直线BF 于G，如图6。

图6

当然，此题还有其它的解法，比如根据∠CAB=90°构造ΔCAB 的外接圆，但鉴于本文只探究与上述两种几何模型相关的解法，故其它的解法不作展示。