刘延柱

(上海交通大学工程力学系，上海 200240)

自2005年开始，北京的鼓楼展出了一种利用铜球在铜管内循环滚动的古老计时仪器。因木制长方体的外观形同石碑而称为“碑漏”。这个古老的机械钟曾在唐、宋、金、元时期用于计时。南宋薛季宣著《浪语集》称碑漏的发明人是唐代僧人文诰。又据《元史·齐履谦传》中的记载：

“都城刻漏，旧以木为之，其形如碑，故曰‘碑漏’，内设曲筒，铸铜为丸，自碑首转行而下，鸣铙以为节。”

碑漏自元代以后已失传七百年，无实物留存。北京钟鼓楼文保所与苏州古代天文计时仪器研究所合作，历时一年复原成功。使失传的古代科技发明成功再现，为中国的科技发展史增添了新篇章[1]（图1）。

图1 北京鼓楼重置的碑漏（引自网络）

碑漏是木制的长方体，高2.2 m，宽1.4 m。内部安置13根铜管，自上而下按 “之” 字形排列（图2）。最上端设投球孔通向第一根铜管，管内储存多个铜球。铜球受机构控制在指定时刻依次落入下方铜管，经12根铜管曲折下滚，每根管内滚动时间为2 s，历时24 s后坠落，敲击铜铙发出清脆响亮声音报时。同时牵动机构使下一个球出发，两球之间相隔24 s。150个球滚完历时1 h，一昼夜需滚球3 600个。

图2 碑漏内部的铜管（引自网络）

各种计时仪器的运作均基于自激振动原理。碑漏也不例外，其恒定的能源来自重力，能量输入的调节由铜球在铜管内的运动实现。为具体分析此运动过程，设铜球的质量为m，半径为R，铜管相对水平轴的倾斜角为α，接触点的摩擦力为F（图3），列写沿铜管中心轴x的动量定理

图3 铜球在铜管内的受力图

均质球体的中心惯性矩为2mR2/5，设铜球的角速度为ω，列写其相对质心O的动量矩定理

设铜球相对铜管作无滑动的纯滚动，其质心速度v与角速度ω满足v =ωR约束条件。从式(1)和式(2)消去F和ω，导出铜球质心的加速度a= dv/dt =(5/7)gsinα，即重力加速度沿x轴分量的5/7倍。铜球自管端从零速度开始以匀加速度a向下滚动，设管长为l，到达末端x =l所费时间ts由x=at2/2导出，得到

可见滚动时间ts仅取决于铜管的长度和倾斜角，与铜球的质量和半径无关。任何不同材料和大小的实心球在管内滚完全程的时间均完全相同。从图片目测，取α = 7.5°，l= 1.5 m代入式（3），算出ts=1.8 s。考虑铜球在末端处发生撞击和落入下根铜管所需时间，增加0.2 s，则铜球在每根管内的滚动时间为2 s，与设计要求一致。

以铜球质心的坐标x和速度v= dx/dt组成相平面，作出铜球在管内运动的相轨迹。将速度为零的出发点作为相平面的原点。将dv/dt=g·sinα与dx/dt=v二式相除消去dt，化作vdv=(gsinα)dx，积分后得到相轨迹v2= (2gsinα)x为抛物线。在铜管末端x=l处，铜球与挡板相撞。若为完全塑性碰撞，则速度突变为零。成为自由落体落入下根管的起点。相点在A点沿与纵轴平行的直线向下与横轴相交于B点，沿横轴回到下根管的原点。然后周而复始，在下根管内再次出发，重复上述过程。将不同铜管内的运动合并为同一条相轨迹，即构成封闭的极限环，形成自激振动（图4）。铜球与挡板相撞落入下管的动作与释放新球滚入铜管的牵动机构起了能量调节器的作用。

图4 铜球运动在相平面内形成的极限环

无独有偶，曾在13世纪欧洲的“永动机” 发明热中出现过的一个典型的永动机设计，竟然与我们祖先创造的碑漏不谋而合[2]（图5）。这个机器将碑漏的“之”字形小球滚道改成沿一个圆轮的径向安装。处于上方位置的小球靠重力沿凹槽向下滚动，与末端的槽壁碰撞后停在下方，加大了与转轴的距离。圆轮因两边小球力臂的差异而形成推动圆轮旋转的动力。当小球转到另一侧时，重力又迫使小球滚动回到原位置，如此循环不止。若圆轮确能如发明者设想的那样旋转不停，小球的运动应具有与图4相同的相平面极限环。但小球在凹槽内滚动时的摩擦以及与圆轮的碰撞均不可避免产生能量耗散。圆轮必越转越慢直至静止，不可能实现永动。

图5 想象中的一种 “永动机”

据记载，有位16世纪的意大利教授对这种“永动机” 做了改进。他提出利用磁铁的吸力使下落后的小铁球沿凹槽向上滚动至原位，以补偿摩擦力的能量损耗，使机器实现永动。时至今日，这个 “磁永动机” 的设想仍吸引了不少业余发明家的兴趣，不少人自称已实验成功（图6）。实际上这类机器能不停旋转，是利用了永久磁铁吸力的推动，已不能称之为永动机，而是一种将磁能转换为机械能的装置。即使所设计的实验能维持较长时间运转，最终也会因磁性的损耗而趋于终止。

图6 “磁永动机”（引自网络）

这种 “磁永动机” 虽不是想象中的真正永动机，但因具有自激振动固有的定时性，也可以用来计时。只要当小球与圆盘碰撞时，如碑漏那样发出报时信息，就能形成与碑漏类似的机械钟了。