梁伟民

(内蒙古锡林浩特市第六中学)

在高中物理力学部分学习中,大家经常遇到物体相对运动问题.相对运动问题在中学物理教学中的特殊地位决定了它既是教学中的重点、难点,又是高考考查的热点.本文结合模型典例给出问题解决的方法.下面对常见模型给予归类,供大家参考.

1 追击、避免碰撞类模型

例1 一汽车在直线公路段上以54km·h－1的速度匀速行驶,突然发现在其正前方14 m 处有一辆自行车以5m·s－1的速度同向匀速行驶.经过0.4s的反应时间后,司机开始刹车.

(1)为了避免相撞,汽车的加速度大小至少为多少?

(2)若汽车刹车时的加速度为4 m·s－2,在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度做匀加速运动,则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞?

(1)设0.4s反应时间后,再经Δt时间汽车减速到自行车速度,此时两车刚好接触,该过程即为避免相撞的汽车加速度最小值,v-t图像如图1所示.

图1

由v-t图像得两车位移大小关系,汽车加速度大小计算式如下:

由式①②联立解得amin＝5m·s－2.

(2)设0.4s反应时间后,再经Δt′时间汽车减速到与自行车加速后的速度相等,汽车速度vt＝v0＋at＝15m·s－1－4 m·s－2·Δt′,此时两车刚好相遇,该过程即为避免二者相撞的临界情况,二者v-t图像如图2所示.

图2

由v-t图像得两车位移大小关系,自行车加速度大小计算式为

本题解答关键是画出两车运动的v-t图像,利用图像与坐标轴围成图形面积的物理意义,抓住解决此类问题的两个关系(位移、时间关系)和一个条件(速度相等),列算式求解.本题也可用直线运动公式求解,有多种解法,但均不如v-t图像法简洁、清晰且方便计算.

2 板块模型

例2如图3所示,光滑水平面上有一质量为m的长木板,木板上有一质量为m的滑块,滑块的初位置到木板右端的距离为L,整个系统处于静止状态.某时刻滑块获得一水平向右的初速度v0,滑块到达木板右端时刚好与木板共速,此时再用锤子向左敲击一下滑块,使滑块瞬间以v0的速率反向,滑块最终与木板共速.重力加速度为g.求:

图3

(1)滑块与木板间的动摩擦因数;

(2)滑块最终与木板相对静止处到木板右端的距离.

(1)对滑块向右运动到与木板共速过程,由牛顿第二定律得滑块加速度大小a＝μg,由动量守恒定律得,二者v-t图像如图4所示.由v-t图像得位移大小关系为v0＝L,整理得

图4

图5

3 子弹打物块模型

例3如图6所示,子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的物块,子弹未穿透物块,子弹和物块间作用力恒为F,此过程物块的动能增加了6J,那么此过程产生的内能可能为( ).

图6

A.16J B.2J C.6J D.4J

子弹射入物块过程,对二者运动性质定性分析,画出二者大致的v-t图像如图7所示.由v-t图像分析得△OBC、△OAB的面积分别等于物块位移和二者相对位移的大小,对物块、子弹和物块组成的系统分别由动能定理、能量守恒列方程得Fx△OBC＝6J,＞Fx△OBC,可得Q热＝＞6J,故选A.

图7

本题借助作用过程画出的v-t图像,定性对比出图像中相关面积大小,再利用动能定理、能量守恒定律列式分析得出选项,既降低了题目难度,又加快了解题速度.

4 传送带模型

例4如图8所示,一皮带输送机的皮带以v＝10m·s－1的速率逆时针匀速转动,其输送距离AB＝29m,与水平方向夹角为θ＝37°.在传送带上端A无初速度地放一个质量m＝0.5kg的黑色煤块,它与皮带间的动摩擦因数μ＝0.5.煤块在传送带上经过会留下黑色划痕.已知sin37°＝0.6,cos37°＝0.8,g取10m·s－2.

图8

(1)煤块从A到B的时间t;

(2)煤块从A到B过程中在传送带上留下的划痕长度s.

(1)对煤块下滑到与皮带共速前后过程,分别由牛顿第二定律 得a1＝10 m·s－2,a2＝2m·s－2.设共速时间为t0,由运动学公式得共速时间t0＝1s,煤块最终速率vt＝10m·s－1＋a2Δt,此过程v-t图像如图9所示.由v-t图像得煤块位移大小与输送距离相等,有×(v＋v＋a2Δt)Δt＝lAB,解得Δt＝2s,故煤块从A到B的时间t＝t0＋Δt＝3s.

图9

(2)在煤块v-t图像上,画出该时段的皮带v-t图像如图10所示.由图像分析得三角形面积①为第1s内发生的相对位移大小(即相对地面皮带比煤块多发生的位移,也是皮带上的划痕长度),则有

图10

三角形面积②为Δt时间内发生的相对位移大小(即相对地面煤块比皮带多发生的位移),有

划痕Δx2与Δx1重叠,故划痕总长s＝5m.

本题解答的关键是分析出物块加速到与皮带共速后的运动性质,作出物块下滑全程v-t图像,凭借图像与坐标轴围成图形面积的物理意义,列式求解第(1)问.第(2)问求解划痕长度易错在认为是两段相对位移之和,而忽略物体实际发生相对运动情形,该问对学生分析能力要求较高.

5 高考真题典例

例5(2015年全国卷)下暴雨时,有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害.某地有一倾角为θ＝37°(sin37°＝的山坡C,上面有一质量为m的石板B,其上下表面与斜坡平行;B上有一碎石堆A(含有大量泥土),A和B均处于静止状态,如图11所示.假设某次暴雨中,A浸透雨水后总质量也为m(可视为质量不变的滑块),在极短时间内,A、B间的动摩擦因数μ1减小为3/8,B、C间的动摩擦因数μ2减小为0.5,A、B开始运动,此时刻为计时起点;在第2秒末,B的上表面突然变为光滑,μ2保持不变.已知A开始运动时,A离B下边缘的距离l＝27m,C足够长,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小g取10m·s－2,求:

图11

(1)在0～2s时间内A和B加速度的大小;

(2)A在B上总的运动时间.

(1)在0～2s时间内,分别对A、B由牛顿第二定律得

由式①②解得aA＝3m·s－2,aB＝1m·s－2.

(2)B的上表面变为光滑后,分别对A、B由牛顿第二定律得＝gsinθ＝6 m·s－2＝gsinθ－2μ2gcosθ＝－2m·s－2.对A、B发生相对滑动过程分析知3秒末,B静止,此后A的加速度大小不变,仍相对B继续下滑,设相对下滑时间为Δt.画出A在B上发生相对滑动过程中二者的v-t图像如图12所示.

图12

由二者v-t图像与横轴围成图形面积分析得相对位移大小为

解得Δt＝1s,故t总＝4s.

本题为多物体多过程的相对运动问题,若运用牛顿第二定律、运动学公式联立求解及分析判断,不但书写复杂且计算易错,而采用定性分析、半定量分析及v-t图像结合作答,解题速度和准确率就会大大提升.

例6(2020年全国Ⅱ卷)如图13所示,一竖直圆管质量为M,下端距水平地面的高度为H,顶端塞有一质量为m的小球.圆管由静止自由下落,与地面发生多次弹性碰撞,且每次碰撞时间均极短;在运动过程中,管始终保持竖直.已知M＝4m,球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg,g为重力加速度的大小,不计空气阻力.

图13

(1)求管第一次与地面碰撞后的瞬间,管和球各自的加速度大小;

(2)管第一次落地弹起后,在上升过程中球没有从管中滑出,求管上升的最大高度;

(3)管第二次落地弹起的上升过程中,球仍没有从管中滑出,求圆管长度应满足的条件.

(1)管第一次落地弹起的瞬间,设管的加速度大小为a1,方向向下;球的加速度大小为a2,方向向上,对二者由牛顿运动定律有Mg＋4mg＝Ma1,4mg－mg＝ma2,联立上式得a1＝2g,a2＝3g.

(2)管第一次落地弹起到二者共速过程,二者加速度即为(1)问结果,对二者由运动学公式得v共＝,方向向上;经历时间t1＝

对二者共速到管上升到最大高度过程分析得a共＝g,方向向下.设向上为正方向,二者运动过程v-t图像如图14所示.由管的v-t图像与横轴围成图形面积得上升最大高度H1＝.

图14

(3)由问题(2)画出的v-t图像分析得二者相对位移大小x1＝H.同理,对管第二次落地弹起到二者共速过程画出v-t图像,由相似知识得相对位移大小x2＝.设圆管长度为L,管第二次落地弹起后的上升过程中,球不会滑出管外的条件是x1＋x2≤L,联立以上各式得L≥

本题第(2)问、第(3)问均采用了定性与半定量计算结合画出二者v-t图像,根据v-t图像的物理意义及相似知识得出圆管第一次落地弹起后上升的最大高度及两次二者相对位移大小,再根据题意列式得出结果.利用v-t图像解题,既降低了解题难度,又避免了多体多过程复杂书写过程,快速得出结果.

通过以上例子不难看出,利用速度—时间图像法解答物体相对运动问题,关键是画出图像.首先根据问题中涉及的物理过程作出定性分析、半定量运算、隐含条件挖掘及分析判断等,作出相应图像,然后应用图像解题.利用速度—时间图像解题,不仅直观、形象及动态变化清晰,还可以恰当地展现用语言难以表达的内涵,从而优化解题过程,降低解题难度,避免复杂的书写过程和运算,但解题过程仍离不开有关物理知识的灵活应用,这既是数形结合,也是数理结合,具有一定的综合性和技巧性.学生在平时学习中要有意识地利用速度—时间图像法来处理相关问题,这对培养自身理解能力、推理能力、应用数学能力等,提高自身的学科素养,启迪思维,触发灵感都是十分有益的.

(完)