郝 娇, 惠小静, 马 硕

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)

模糊逻辑是由经典逻辑和多值逻辑推广而来的,在生活中的各个领域获得了广泛的应用.近几十年来,模糊逻辑得到了越来越多学者的研究与重视。模糊逻辑的发展已取得了6个方面的成就[1-3],其中基于三角模的模糊逻辑在模糊逻辑的形式化研究中占据主导地位。典型的基于三角模的模糊逻辑有基于幂零极小三角模L*逻辑[4-7]、基于连续三角模的BL逻辑[8-12]、基于左连续三角模的MTL逻辑[13-16]等。

基于连续三角模的BL逻辑是捷克科学院院士Hájek教授于1998年提出的[17]。与BL逻辑系统相对应的谓词逻辑系统是BL∀。谓词逻辑系统BL∀是在BL逻辑系统的基础上,增加了带有全称量词和存在量词的逻辑。

本文在文献[18]的基础上对谓词逻辑系统BL∀展开了研究,主要研究不含函数符号的一阶闭逻辑公式之集Φ中公式之间的相似度。首先,给出含强等价算子的相似度性质。其次根据公理化真度的性质,对相似度的性质进行了简化,方便我们之后的计算。最后,讨论了公式的相似度性质及其计算方法。

1 基础知识

1.1 基本逻辑形式系统BL

定义1[5]基本逻辑的命题演算系统BL的公理如下:

(BL1) (A→B)→((B→C)→(A→C));

(BL2)A&B→A;

(BL3)A&B→B&A;

(BL4)A&(A→B)→B&(B→A);

(BL5a) (A→(B→C))→(A&B→C);

(BL5b) (A&B→C)→(A→(B→C));

(BL6) ((A→B)→C)→(((B→A)→C)→C);

BL的推理规则是MP规则。

注[8]在BL中HS规则成立:即A→B,B→C可得A→C。

其他命题联结词可以作为导出符号,如下:

1.2 谓词逻辑系统BL∀

定义3[5]设T是基本命题逻辑BL的模式扩张。谓词逻辑系统的公理包含以下2类。

1)T中的公理,其中A,B,C为谓词公式。

2) 带有量词的公理。

(∀1) (∀x)A(x)→A(t) (在A(x)中可用t替换x);

(∃1)A(t)→(∃x)A(x) (在A(x)中可用t替换x);

(∀2) (∀x)(B→A)→(B→(∀x)A) (x在B中不自由);

(∃2) (∀x)(A→B)→((∃x)A→B) (x在B中不自由);

(∀3) (∀x)(A∨B)→((∀x)A∨B) (x在B中不自由)。

系统T∀的推理规则有以下2条。

MP规则:由A,A→B推出B。

推广规则:由A推出(∀x)A。

定理1[8]在BL系统中,├A≡B当且仅当├A→B且├B→A。

定理2[5]├A→A。

定理3[5]├A→(B→A)。

定理4[5]├A→A∨B。

定理5[5]├(∀x)(A∧B)≡((∀x)A∧(∀x)B)。

定理6[5]├(∀x)(B∧A)≡(B∧(∀x)A) (x不在公式B中自由出现)。

定理7[1]在公式(∀xi)A中,A叫作∀xi的辖域。这时公式A中若有变元xi,则该xi叫作约束变元。又∀xi中的xi也叫作约束变元。不是约束变元的变元叫作自由变元。

我们约定,xi是公式A中的自由变元指xi从未在A中约束出现过。

定理8[1]设x1,…,xn是公式A中的全部自由出现的变元,则称(∀x1),…,(∀xn)A为A的完全闭包,记作clA。

1.3 相似度的定义及性质

本章主要介绍Φ中公理化真度的定义、基本性质以及Φ中公式之间相似度的定义及其性质,用A,B,C表示Φ中的一阶逻辑公式。

定义4[18]称映射τ:Φ→[0,1]为公理化真度映射,若以下条件成立:

(K2) 若A是Φ中的定理,则τ(A)=1;

(K3)τ(┑A)=1-τ(A),A∈Φ;

(K4)τ(A→B)+τ(A)=τ(B→A)+τ(B),A,B∈Φ;

(K5)τ(cl(┑A))=1-τ(clA);

(K6) 在计算公式的真度时,其中原子公式中的变元可相互替换。

当A∈Φ时,称τ(A)为A的公理化真度,简称A的τ-真度或真度。

命题1[18]真度映射τ具有以下性质:

(ⅰ) 若τ是矛盾式,则τ(A)=0;

(ⅱ) 若A与B逻辑等价,则τ(A)=τ(B);

(ⅲ) 若τ(A→B)=1,则τ(A)≤τ(B);

(ⅳ) 若τ(A)≥a,τ(A→B)≥b,则τ(B)≥a+b-1;

(ⅴ) 若τ(A→B)≥a,τ(B→C)≥b,则τ(A→C)≥a+b-1;

(ⅵ) 若τ(A→C)≥τ(A→B)+τ(B→C)-1;

(ⅶ)τ(A∨B)+τ(A∧B)=τ(A)+τ(B)。

定义5[18]设A,B∈Φ,令

ξ(A,B)=τ((A→B)∧(B→A)),

称ξ(A,B)为A与B之间的相似度。

命题2[18]设A,B,C∈Φ,则

(ⅰ)ξ(A,B)=ξ(B,A);

(ⅱ) 若A与B逻辑等价,则ξ(A,B)=1;

(ⅲ)ξ(A,B)=τ(A→B)+τ(B→A)-1;

(ⅳ)ξ(A,B)=1+τ(A∧B)-τ(A∨B);

(ⅴ)ξ(A,B)+ξ(A,┑B)=1;

(ⅵ)ξ(A,B)+ξ(B,C)≤ξ(A,C)+1。

2 相似度运算性质的研究

定理9 若A≡B,则ξ(A,B)=1。

证明 因为由定理1,├A≡B当且仅当├A→B且├B→A,

所以,由定义4(K2)知,τ(A→B)=τ(B→A)=1。所以

定理10 当x在A,B中不自由时,ξ(A,B)=2τ(A∧B)。

证明 首先证明├A→(∀x)A。

①A→A定理2;

② (∀x)(A→A) ①、推广规则;

③ (∀x)(A→A)→(A→(∀x)A) (x在A中不自由) 定义3(∀2);

④A→(∀x)A②、③、MP规则。

由定义4(K2)知,τ(A→(∀x)A)=1。

由命题1(ⅲ)知,τ(A)≤τ((∀x)A)。

由定义3(∀1)和命题1(ⅲ)知,τ((∀x)A→A)=1,τ((∀x)A)≤τ(A),所以τ((∀x)A)=τ(A)。

由命题2(ⅳ)和命题1(ⅶ)知,

定理11ξ(A,B→A)=τ(A)-τ(B→A)+1。

证明 由定理3和定义4(K2)知,

A→(B→A)是定理,所以τ(A→(B→A))=1,

由命题2(ⅲ)知,

又由定义4(K4)知,

τ(A→(B→A))+τ(A)=τ((B→A)→A)+τ(B→A),

所以

τ((B→A)→A)=τ(A→(B→A))+τ(A)-τ(B→A)=1+τ(A)-τ(B→A),

即ξ(A,B→A)=τ((B→A)→A)=τ(A)-τ(B→A)+1。

定理12ξ(A,A∨B)=τ(A∨B→A)。

证明 由定理4和定义4(K2)知,τ(A→A∨B)=1; 又根据命题2(ⅲ)知,ξ(A,A∨B)=τ(A→A∨B)+τ(A∨B→A)-1。 所以,

ξ(A,A∨B)=τ(A→A∨B)+τ(A∨B→A)-1=1+τ(A∨B→A)-1=τ(A∨B→A)。

由命题2(ⅳ)、命题1(ⅶ)知,

又由定理1、定理5和定义4(K2)知,

又根据命题1(ⅲ)可知,

所以,

τ((∀x)A∧(∀x)B)=τ((∀x)(A∧B))。

所以

证明 由定理10知,

ξ(A,(∀x)B)=2τ(A∧(∀x)B)。

由定理1、定理6和定义4(K2)知,

由命题1(ⅲ)知,

所以,τ(A∧(∀x)B)=τ((∀x)(A∧B))。

所以,

3 结 语

本文讨论了谓词逻辑系统BL∀的相似度,研究了一阶闭逻辑公式的相似度性质及运算性质,为我们之后研究谓词逻辑系统BL∀的伪距离、发散度、相容度等奠定了基础。