广东省深圳市深圳中学 (518001) 黄文辉

函数的双变量问题是近年高考试卷中热门试题之一，这类试题不仅形式多样，而且联系到的知识比较广，构造思维要求比较高，因此这类问题的解决方法也是多样的.本文着重谈谈如何利用对数均值来解决这类问题的解题思路.

一、试题呈现

(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；

(2)证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则x1x2<1.

二、知识准备

1、两个正数a和b的对数平均定义为：

三、解法探究

∴e+1-a≥0，所以a的取值范围为(-∞,e+1].

四、变式训练

(1)讨论函数f(x)的单调性；

例2 (2016年全国Ⅰ理)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围；

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明x1+x2<2.

评注：假设x1+x2≥2利用a(x1-x2)(x1+x2-2)≥0是解决问题的关键所在，将指数不等式(x1-2)ex1≥(x2-2)ex2转化为(2-x1)ex1≤(2-x2)ex2是神来之笔，再两边取对数，构造出了ln(2-x1)-ln(2-x2)的效果，为利用对数平均值不等式创造了条件.