四川省成都市郫都区第四中学 (611731) 涂道新

2022年新高考数学Ⅱ卷第12题是一道结构对称优美、解法灵活多样、有探究价值的条件不等式问题．该题作为一道多项选择题，极富数学思维价值和数学探究价值．因此，本文拟对这个问题从思路分析、推广等角度作一些探究．

题目(多项选择题)：若实数x,y满足x2+y2-xy=1，则( )．

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

一、思路分析

思路2：(配方法)配方得x2+y2=2-(x-y)2，所以x2+y2≤2．由(x-y)2=1-xy≥0得xy≤1．因此(x+y)2=1+3xy≤4．所以-2≤x+y≤2．故选B、C．

二、问题的推广

这道高考题的实质是，在条件x2+y2-xy=1之下，求解x+y和x2+y2的范围．

推广1 (多项选择题)若正实数x,y满足x3+y3-xy=1，则( )．

A.x+y≤2 B.x+y≥1

C.x3+y3≤2 D.x3+y3≥1

推广2 若实数x,y满足x2+y2-λxy=1，其中-2<λ<2，则

在推广2中，对λ赋值，可编拟出很多新颖题目．

推广3 设实数x,y满足x2+y2-λxy=μ，其中-2<λ<2，μ>0，分别求x+y和x2+y2的取值范围．

推广3可以仿照推广2的方法予以解答．

推广4 设实数x,y满足x2+y2-λxy=μ，其中|λ|>2，μ>0，分别求x+y和x2+y2的取值范围．

推广5 设n为大于1的正整数，x,y为正实数，且xn+yn-xy=1，分别求x+y和xn+yn的取值范围．

推广6 设n为大于1的正整数，x,y为正实数，且xn+yn-λxy=1，其中实数λ是常数，分别求x+y和xn+yn的取值范围．

推广4、5、6的探讨都较复杂，留读者探究．