邹子贤, 李宏民, 李春来, 钱 坤

(湖南理工学院 物理与电子科学学院, 湖南 岳阳 414006)

0 引言

模拟小波滤波器是分析非平稳瞬态信号的强大工具[1], 已广泛应用于信号分析、图像处理、故障检测、生物医学工程等领域[2].然而, 随着研究对象和范围的不断扩大, 模拟小波滤波器在处理一些问题时的局限性逐渐暴露出来.例如, 为满足低压、低功耗、高精度的市场需求, 模拟小波滤波器的阶数在不断提升,这意味着研发成本也将不断增加.同时, 许多新兴应用所需的规范使非整数阶模拟滤波器成为更好的选择.为了便于该类滤波器的实现, 现有技术方法是将所需的阶次四舍五入到最接近的整数.正是由于阶次的近似, 无法精确实现模拟小波滤波器的幅频响应与相频响应.另外, 刻度有限的整数阶模拟小波滤波器很难满足更详细的非平稳特性分析的需求.近年来, 滤波领域中应用分数阶微积分理论所带来的额外自由度或许能为上述问题提供应对策略.根据Riemann-Liouville公式, 分数阶微分可被定义为

其中α为实数, Γ(·)为Gamma函数.在零初始条件下, 式(1)的拉普拉斯变换为

如图1所示, 可以定义一种阻抗与sα成比例的通用分抗元件[3], 其中常规元件如电阻、电感、电容以及频率相关负电阻被认为是分别对应于α= 0,1,- 1, - 2的特殊情况.在滤波器中使用分抗元件可以将电路从整数域扩展到更一般的分数域.例如, 传统的模拟小波滤波器可以被归类为一阶、二阶或n阶电路, 其中n为整……