王 刚, 丁卫平, 张再云, 刘培宇

(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)

癌症是一种严重威胁人类生命与健康的疾病, 有效的癌症治疗策略已成为许多学者研究的焦点.传统的治疗方法(如手术切除、化疗以及药物治疗等)对癌症的治疗做出了巨大的贡献, 但是, 化疗会对免疫系统造成不可修复性的损伤, 而药物治疗会使机体产生抗药性等副作用.目前, 免疫治疗是应用最广泛的癌症治疗策略, 其通过激活机体较强的免疫效应来抑制癌细胞的增长.综合使用免疫治疗与药物治疗策略既能减轻传统治疗方法的副作用, 又能起到比单一治疗策略更好的效果.近年来, 各种各样的数学模型[1～6]被用于刻画肿瘤治疗的不同策略.本文主要考察具有固定时刻脉冲治疗策略的肿瘤免疫模型[7].该模型描述如下:

其中x为免疫细胞的数量,y为肿瘤细胞的数量,s为免疫细胞的正常输入速率,ρxy为描述免疫细胞与肿瘤细胞相互作用而促使免疫细胞产生的项,δ为免疫细胞的死亡率,α为肿瘤细胞的内禀增长率,为环境容纳量,σxy为描述免疫细胞与肿瘤细胞相互作用导致肿瘤细胞死亡的项,pE和Tp分别表示在t= (n- 1 )T+lT时刻药物对免疫细胞和肿瘤细胞的瞬时杀伤率,μ表示在t=nT时刻免疫细胞的输入量.此外,T＞0表示实施脉冲治疗策略的周期, 0＜l＜1.

下面探究肿瘤灭绝周期解的局部稳定性及系统(1)的持久性.

1 预备知识

本节主要介绍将要用到的一些引理[8].

引理1为系统(1)的正不变集.

令……