孙歆， 段誉

贵州工程应用技术学院 理学院， 贵州 毕节 551700

研究如下Klein-Gordon-Maxwell系统：

(1)

(2)

其中0<ω

本文的主要目的是当凸非线性项是不满足局部(AR)条件的一般非线性项， 且非线性项含有两个参数时， 利用变分法讨论两个参数对系统(1)解的存在性和多重性的具体影响． 本文的结论完善了已有文献的相关结果．

本文针对位势函数V及非线性项α，f做如下假设：

(F2)存在常数C1>0及2

(F5)f(x， -t)=-f(x，t)， ∀(x，t)∈R3×R；

定理1假设V，f，α分别满足条件(V)，(F1)-(F4)及(A)， 则：

定理2假设V，f，α分别满足条件(V)，(F1)-(F5)及(A)， 则对∀λ>0，μ∈R， 系统(1)有一列高能量解．

定理3假设V，f，α分别满足条件(V)，(F1)-(F5)及(A)， 则对∀λ>0，μ>0， 系统(1)有一列负能量解．

注1确实存在函数满足条件(F1)-(F4)， 但不满足(AR)条件及超4次条件， 如

注2与文献[15-16]的结论相比， 本文在凸非线性项是一般非线性项， 且不满足超4次条件下讨论了系统(1)解的存在性和多重性．

与文献[22]的结论相比， 本文从两个方面改进了其结果：

(i) 本文在非线性项不满足局部(AR)条件而满足更弱的超线性条件时给出了系统(1)解的存在性和多重性结果；

(ii) 本文在参数μ满足更大范围的限制性条件下仍获得了与其相同的结果： 系统(1)有一个非平凡解和一列高能量解， 且本文还讨论了一列负能量解的存在性问题．

因此本文完善了已有文献的相关结果．

令

D1，2(R3)={u∈L6(R3)： |u|∈L2(R3)}

表示Sobolev空间， 其范数定义为

H1(R3)={u∈L2(R3)：u∈L2(R3)}， 其内积和范数分别定义为

定义

由条件(V)，H是Hilbert空间， 其内积和范数分别定义为

显然， 在条件(V)下， 对任意的2≤p<6， 嵌入映射HLp(R3)是紧映射， 且对任意的2≤p≤6， 存在Sp>0， 使得

‖u‖p≤Sp‖u‖ ∀u∈H

(3)

系统(1)具有变分结构， 对∀(u，φ)∈H×D1，2(R3)， 定义其能量泛函

易知系统(1)的弱解(u，φ)∈H×D1，2(R3)对应着泛函J的临界点． 由于J是强不定的， 为了克服这……