周绪杰, 赵志兵

(安徽大学 数学科学学院, 合肥 230601)

0 引 言

Frobenius扩张作为Frobenius代数的一种推广, 是一类被广泛关注的环扩张, 其基本例子是群代数为其指数有限的子群代数上的一个Frobenius扩张. 目前, 同调不变性质的保持性是Frobenius扩张理论的热门课题[1-3].

对于环扩张A/S, 有一个限制函子R=HomA(SAA,-)(≅-⊗AAS): Mod-A→Mod-S将MA作用为MS.在相反方向有两个函子T=-⊗SAA: Mod-S→Mod-A和H=HomS(AAS,-): Mod-S→Mod-A.易验证, (T,R)和(R,H)都是伴随对.

定义1[4]如果下列等价条件之一成立, 则环扩张A/S称为Frobenius扩张：

半对偶模[5-6]是对偶模的一种推广, 最初要求环总是Noether的. 相对于一个半对偶模, Golod[7]定义了GC-维数, 其统一了经典的投射维数和Gorenstein投射维数. 文献[8]去掉了“Noether”的条件, 考虑一般的交换环上相对于半对偶模的GC-维数, 包括GC-投射、 内射和平坦维数.

定义2[8]如果一个S-模C满足下列条件, 则该S-模C称为半对偶模:

显然, 正则模S本身就是一个半对偶模, 若存在对偶模, 则其是一个半对偶模.由文献[9]中命题2.3可知, 半对偶模在环的Frobenius扩张下是保持的.

命题1[9]设A/S是环的Frobenius扩张, 若C是半对偶S-模, 则C⊗SA是半对偶A-模.

一个模的GC-平坦性在环的优越扩张下是保持的[9].优越扩张一定是Frobenius扩张, 而半对偶模在Frobenius扩张下是保持的, 因此本文考虑GC-平坦模在Frobenius扩张下的保持性, 下面给出GC-平坦模的定义.

定义3设C是一个半对偶S-模.一个S-模M称为GC-平坦模, 是指存在S-模的正合序列

F∶=…→F1→F0→C⊗SF0→C⊗SF1→…,

(1)

使得M≅Coker(F1→F0), 且对于每个内射S-模I, 复形F⊗SHomS(C,I) 都是正合的, 其中Fi和Fi均是平坦模.此外, 上述正合序列F称为M的完全FC-分解.

注1若C=S, 则GC-平坦模与经典的Gorenstein平坦模一致.

如果一个S-模类X包含每个投射S-模, 且对每个……