王 颖, 王灵芝

(陕西师范大学 数学与统计学院, 西安 710119)

0 引 言

研究表明, 在宿主细胞中病毒感染主要有两种途径[1-4]： 病毒感染细胞(间接传播)和细胞间感染(直接传播). 事实上, 细胞间感染比病毒感染细胞更有效[5]. 细胞被病毒感染后, 存在一个较短的细胞内潜伏期, 目前数学上有两种方法模拟该潜伏期阶段： 通过一类显式的潜伏感染细胞[6-7]或通过一个时间延迟[2,4].

基于文献[2,4,8]的工作, 本文考虑含易感细胞的Logistic增长项、 感染期间的时滞和时滞阶段未成熟的已感染细胞死亡率几个因素的病毒感染模型, 模型可描述为如下形式的时滞微分方程：

(1)

本文首先证明系统解的非负性和一致有界性, 确定可行域； 其次, 通过分析特征方程利用Lyapunov-LaSalle不变性原理[10]证明无感染平衡点P0的全局渐近稳定性, 并通过分析病毒感染平衡点P*的稳定性给出Hopf分岔的存在条件； 最后利用MATLAB软件进行数值模拟以验证所得结论.

1 适定性与可行平衡点

为分析当τ≥0时平衡点的稳定性和系统(1)的动力学行为, 需要考虑一个合适的相空间和可行域.当τ>0时, 记C∶=([-τ,0],), 对于任意的φ∈C, 定义范数为从区间[-τ,0]映射到的连续函数全体构成的Banach空间.记C+∶=([-τ,0],+)为C的非负锥.当t=0时, 系统(1)的初始条件为

φ∈X∶=+×C+×C+.

(2)

定理1在初始条件(2)下, 系统(1)的解具有非负性和一致有界性.

证明： 首先利用反证法证明解的非负性.

假设t1>0,t1是第一次使x(t)=0的时刻, 即x(t1)=0.由系统(1)的第一个方程可知x′(t1)=λ>0, 故存在ε>0, 使得当t∈(t1-ε,t1)时, 有x(t)<0.这与当t∈[0,t1)时,x(t)>0矛盾, 故x(t)≥0.假设t2>0,t2是第一次使y(t)=0的时刻, 即y(t2)=0, 则∀t∈[0,t2), 有y(t)>0.由系统(1)的第二个方程得y′(……