张萌萌, 李善兵

(西安电子科技大学 数学与统计学院, 西安 710126)

0 引 言

目前, 具有恐惧效应的捕食-食饵模型已得到广泛关注[1-6]. 对于大多数生物物种, 它们生活的自然环境通常是空间异质的. 因此, 除物种之间的直接效应(猎杀)和间接效应(恐惧效应)外, 种群间的动态行为也会受环境异质性的影响. 尽管已有许多数学模型定量研究了恐惧成本在捕食-食饵相互作用中的影响, 但关于空间异质环境中恐惧成本对捕食-食饵模型影响的研究目前文献报道较少[7]. 基于此, 本文考虑一类带恐惧效应和空间异质的Holling Ⅲ型捕食-食饵模型:

(1)

这里:Ω为n中具有光滑边界的有界开区域; Δ为Lapalce算子,u,v分别表示食饵和捕食者的种群密度;du,dv分别表示食饵和捕食者的随机扩散系数; 参数r,k,d,a,m,c均为常数, 其中r>0表示食饵的出生率,d>0表示食饵的自然死亡率,a>0表示食饵的种内竞争,c>0为转化率,k≥0表示恐惧的程度,m∈表示捕食者的自然增长率; 捕食-食饵相互作用系数b(x)>0是空间依赖函数而不是常数.

本文主要讨论恐惧成本和空间异质对系统(1)稳态解的影响, 其中系统(1)的稳态解满足如下非线性椭圆方程:

(2)

首先, 利用Riesz-Schauder理论和比较原理分析其平凡解和半平凡解的局部渐近稳定性和全局吸引性; 其次, 利用不动点指数理论建立其正稳态解存在的充分条件.

1 平凡解和半平凡解的稳定性

进一步, 关于λ1(d,q(x))有如下性质.

命题1[8-9]下列结论成立:

1)λ1(d,q(x))关于q(x)连续且单调递增, 即当q1(x)≤q2(x)且q1(x)≠q2(x)时,λ1(d,q1(x))<λ1(d,q2(x));

定理1下列结论成立:

1) 当rd或m>0时, (0,0)是不稳定的;

由Ri……