唐凌霞

摘要：模型思想是学生数学核心素养的重要组成部分。数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。学生学习数学的过程就是模型建构的过程。文章从数学模型思想的研究与发展入手，分析模型思想应用于数学课堂教学的意义，并从深挖教材、提炼数学模型，巧设问题、培养建模意识，总结反思、内化模型思想，练习迁移、促进模型应用，分级教学、构建模型思维，以生为本、完善建模过程等方面对数学教学中模型思想的应用策略进行探究。

关键词：数学模型；问题解决；小学数学；模型思想

中图分类号：G623.5文献标志码：A文章編号：1008-3561（2022）16-0126-04

模型思想，即数学中建立模型的思想。数学模型是参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻画出来的某种系统的纯关系结构。数学新课标要求数学教师在设计课程思路的时候要体现模型思想，并特别指出“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的能力”。数学模型思想方法是教学中最常见、应用最广泛的数学思想方法之一，其广泛涉及“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等多个内容，体现了数学学科的应用本质，对数学学科的发展具有重要的促进作用，是实现数学学科应用功能的基本形式和重要手段。教学实践表明，教师在数学教学中应用模型思想，有助于学生形成数学思维，树立数学意识，提升数学核心素养。

一、数学模型思想的研究与发展

数学模型起源于社会实践活动，古人从实际生活中分析数量关系，并创建数学模型。从数学的发展史看，那些最初的数学问题皆起源于经验，如古巴比伦人在天文观察、土地丈量和贸易中形成的位置观念和六十进位数系，我国的《九章算术》等。自1970年开始，美、英等国便积极关注数学模型思想。1977年，美国召开第一届数学建模国际会议（ICMM），数学模型思想随之得到辉煌发展。国内有关数学模型思想的研究略晚于国外，20世纪80年代初“数学建模”进入我国大学，成为一门新课。1992年，我国举办首届大学生数学建模竞赛。数学建模课程的开设和大学生数学模型竞赛的举办在某种程度上推动了基础数学领域的数学模型思想的应用。《数学通报》杂志相继刊发多篇文章，开启中学领域的数学模型思想的研究之路。杨守廉在《数学建模与中学数学教学》（1993）中，结合美国中学数学教学渗透数学建模思想的若干问题实例，对数学建模在“问题解决”中的应用及规律进行总结。张思明的《灌溉问题———中学数学建模问题一例》（1993）也是译编自国外的数学模型教学，文章以“灌溉问题”为例，论述数学建模及求解的具体步骤。2000年，数学模型思想及方法逐渐由中学数学课堂向小学数学课堂发展渗透。魏彬在《数学模型方法与小学数学教学》（2000）中，结合数学模型定义从“需求关联、抽象简化、建立模型、问题求解、模型检验等方面概述数学建模的步骤”，并在此基础上总结数学模型方法指导下的数学教学特点，以对教学有所裨益。何福炬、孟允献在《谈小学“数学建模”》（2004）中，提出数学建模的素材选取要充分考虑实践性、活动性、主体性、合作性等，在开展“数学建模”教学时应“结合学生的实际水平、分层次逐步推进”。2005年至2020年的研究成果多是在“问题解决”与“数学模型”范围内展开的，其中比较具有创新价值的是，2017年陈燕的《小学数学建模：概念解读、现状分析与未来展望———基于课题研究与数学核心素养培养的分析与思考》，其研究内容紧密结合当前的“学科核心素养”这一热点，并针对数学建模教学的一些误区进行剖析，“从课标、教材、教学等方面分析数学建模发展之路”。

二、模型思想应用于数学课堂教学的意义

1.理解数学本质

数学学科具有一定的抽象性，是逻辑严密的学科，小学阶段的学生正处在以形象思维为主的阶段，将模型思想应用于数学课堂，能增强学生对数量关系与空间形式的理解，促使学生对数学概念、符号、法则掌握得更加精准，对数学公式、定理、规律运用得更加灵活。首先，教师将模型思想应用于数学课堂教学，能够帮助学生将问题中的已知条件与未知条件找出来，并将问题与模型对应起来，以实现对问题的正确解答。其次，教师将模型思想应用于数学课堂教学，通过数学情境或活动帮助学生感知数学问题，促使学生主动梳理与思考数学公式和定理，进而理清知识脉络，透彻理解相关概念，实现对数学知识的重构。最后，教师将模型思想应用于数学课堂教学，能够促使学生在情境中感知数学，在活动中体验数学，在探究中理解数学，以符合学生认知特点和思维规律的方式，促进学生理解和把握数学知识，并运用数学的方法与思维来解决问题。

2.解决实际问题

模型思想是数学的基本思想之一，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。将模型思想应用于数学教学，可以提高学生用数学知识解决实际问题的能力。首先，数学问题来源于生活，教师在数学教学中渗透模型思想，不但可以通过数理逻辑重构实际问题，还可以通过对实际问题的“数学化”来创设问题情境，促使学生在经历、体验、探索数学模型建构的过程中，提升认识数学和探究数学的兴趣，进而自主体悟出解决实际问题的方法。其次，教师在数学教学中渗透模型思想，可以使学生的实际生活与数学学习的关系更密切，以此促使学生更加关注实际生活，并能够将生活问题数学化，从而有效提高自身解决实际问题的能力。最后，生活中的实际问题复杂多变，而数学模型则有规律可循。教师在数学教学中渗透模型思想，帮助学生学会运用数学模型解决实际问题，做到“以不变应万变”，这不但能够将生活问题简化，还能够快速解决生活问题。以部编人教版数学五年级上册“简易方程”的教学为例，首先，教师可以引导学生认真观察方程式与数学算式，促使学生仔细辨析二者的异同，以此帮助学生理解方程的概念。其次，当学生理解方程的概念后，教师便可以为学生呈现实际问题：“某学校要组织学生参加研学旅行，要分三天分批安排师生参加。全校共有师生2062人，第一天安排615人，第二天安排702人，第三天安排多少人才能圆满完成这次研学之旅？”最后，对于上述问题，学生可以用数学算式解决，也可以用方程解决。在学生解决问题的过程中，教师可以引导学生认真思考：“方程是不是等式？生活中能否用到一元一次方程？”以此增强学生对方程模型的理解。经过教师这样的教学引导，学生就可以在不断探索数学模型的过程中，逐渐将数学建模思想内化于心。

3.发展学生思维

数学被称为思维的体操，思维是数学的生命线。教师在数学教学中渗透模型思想，能够发展学生的抽象、概括、转化、推理等思维能力，提升学生的数学核心素养。一方面，教师在数学教学中渗透模型思想，不但能够促使学生在运用公式、定理等抽象化的数学模型解决数学问题时，自主对信息进行提取、加工与建构，有效提高学生概括与抽象、类比与归纳、猜想与推理等方面的能力，还能够促使学生在“问题情境—建立模型—求解验证”的模型探索中，增强分析问题、解决问题的能力。另一方面，教师在数学教学中渗透模型思想，以情境创设导入问题，并通过典型直观的教学情境将问题呈现出来，能使学生在教学情境的引导下，从感性思维中跳出来，学会运用假设、推理、验证等方式分析问题、解决问题，进而逐渐学会提出模型假设，建立模型，并根据已有的数学概念、公式等对模型进行求解、检验及进一步应用，从而使自身的思维逐渐由直观形象向抽象概括发展，解决问题的能力也会随之不断提高。

三、数学教学中模型思想的应用策略

1.深挖教材，提炼数学模型

数学模型是以科学的数理逻辑方法将符号、概念、图形等数学语言加以提炼的科学模型。数学建模是将空间特征或数量关系以数理逻辑的方式进行整合与建构，进而成为一种抽象化、概括化、模型化的数学结构，它是将生活中的实际问题抽象并简化，使其化为数学问题，并运用模型来求解的过程。统编版数学教材在编排上较注重学生的生活经验，注重学习情境的创设，但对数学模型思想的呈现不够直观与系统，这对于小学阶段的学生而言具有一定的学习难度，这就要求数学教师在全面解读课标，充分挖掘教材中的数学概念及公式的基础上，从教材中提炼出运算模型、方程模型、概率模型、公式模型等，并将其融入到数形教学中，以实现对数学模型思想与方法的灵活运用。例如，在教学部编人教版数学五年级上册“梯形的面积”时，首先，教师可以带领学生通过亲自动手操作给原有梯形补上一个等底等高的梯形，使二者合起来正好构成一个以梯形的上底与下底之和为底边、与梯形等高的平行四边形，这样梯形的面积就转化为平行四边形面积的1/2。其次，教师可引导学生结合所学的平行四边形的面积公式S=ah，正确推导出梯形的面积公式S=1/2（a+b）h。由此看来，梯形面积的推导过程是将一个未知的数学问题（梯形面积）转化为已知的数学模型（平行四边形面积公式）的过程，也是运用模型推导新的模型的过程。最后，在学生掌握梯形面积公式的推导方法之后，教师可以带领学生进一步深度挖掘教材，并引导学生以同样的数学模型对三角形面积公式进行推导，以此加深学生对相关知识的理解。学生在推导公式的过程中，会自觉对教材知识进行重构，对数学问题进行抽象与概括，从而形成从问题到模型，再从模型到问题的转化与飞跃。

2.巧设问题，培养建模意识

数学模型思想与问题解决密切相关、彼此滲透。数学建模本身就是对生活中的实际问题进行数学化处理并求解的过程，即教师带领学生从数学角度抽象、简化、理解问题，并将这一问题纳入数学语言与数理关系中，从而达成正确求解的目标。由此可见，对实际问题数学化处理并建立问题与模型的联系，是渗透建模思想的关键。因此，在实际教学中，数学教师要在充分考虑学生认知特点及思维规律的基础上，帮助学生实现从模型认识到模型感知，再从模型理解到模型应用，以此促进学生数学问题的分析和解决能力的提高。例如，在教学部编人教版数学四年级下册“用方程解决问题”时，教师可以先根据实际生活创设生活情境：“小明到动物园去参观，他对猴子很感兴趣却又不清楚动物园里究竟有几只猴子，于是，小明向导游寻求帮助，导游给他提示：动物园里新到了一批香蕉，饲养员每天早上给每只猴子4根香蕉，下午给每只猴子5根香蕉。经过计算，这批香蕉给猴子们吃5天的话还余5根，吃6天的话还少4根。请你结合条件思考并判断：动物园里共有几只猴子？”然后引导学生根据题意，弄清已知条件与未知条件，建立等量关系，并根据等量关系提出假设，列出方程式，最后求解并检验。教师引导学生审题、解题的过程，就是向学生渗透建模意识，帮助学生将生活问题转化为数学问题的过程，能切实提高学生解决问题的能力。

3.总结反思，内化模型思想

模型思想是帮助学生构建数学学习与实际生活联系的基本途径，它有助于学生对数学基本知识、核心概念与重要公式的理解与把握。从广义的角度来看，学生在数学学习中所接触到的数学概念、公式定理、数学命题，甚至常见的数学图表，大多蕴含着基本的数学模型，教师可以让学生自主推导或总结反思，在理解的基础上牢记并运用这些概念、公式或定理，以深入内化数学模型思想，全面提高数学建模素养。小学阶段的学生已具备一定的数学推理、类型总结、学习反思，以及自主建构与总结反思的能力，为了使学生真正理解数学模型思想的内涵和价值，教师可以让学生对知识或习题进行总结归类，以反思促理解，从而内化数学模型思想。

4.练习迁移，促进模型应用

数学习题练习及错题分类归纳和剖析都是高效的数学学习方法。从数学模型角度来看，这一方法有其特有的科学性，因为学生在进行数学习题练习或错题分类归纳的过程中，会自主寻找解题的“规律”或“共性”，这恰恰也是对数学模型思想及方法应用的重要途径。在数学课堂教学中，学生在教师的指导下进行有针对性的数学习题练习或错题剖析，有助于提高学生对数学模型的应用能力。在实际教学中，教师应紧紧围绕数学模型问题，精选具有典型性的数学习题进行练习，这既有助于激发学生的数学学习兴趣，又有助于促进学生对数学模型的应用，帮助学生化实际问题为数学模型，有效培养学生数学模型的迁移转化能力。

5.分级教学，构建模型思维

学生的思维发展具有阶段性特点，而数学教材也是基于学生这一思维特点编写的，因此教师在数学教学中渗透模型思想时，一定要遵循学生的思维发展规律，以此使模型思想真正促进学生的数学学习。在实际教学中，教师要在低年级数学教学中渗透初级模型思想，使学生逐渐认识数学符号，并学会灵活运用数学规则，形成初级思维模式。教师要在高年级数学教学中渗透高级模型思想，促使学生尝试运用猜想、假设、推理等方法理解数学模型的结构、表征和变式，形成高级思维模式。这样的数学模型思想渗透教学方式符合学生思维的梯级发展规律，有利于学生模型思维的构建，也有利于学生解决问题能力的提高。

6.以生为本，完善建模过程

在数学教学渗透模型思想过程中，教师要充分发挥自身的教学引导作用，从多个角度考虑学生的实际情况，例如学习到的抽屉原理，既要让学生可以应用该原理解决相关的实际生活问题，又不能让学生过分套用公式，这就要求教师要充分将理论知识联系实际生活，从学生角度出发，帮助学生辩证地看待生活问题。虽然抽屉原理在生活中的应用较为广泛，但是要想将生活实际与理论完美结合起来，还有很长一段路要走。因此，在实际教学中，教师要帮助学生完善思维模式，促使学生了解思想形成过程，引导学生建立相应的数学模型，并帮助学生应用数学模型解决相关问题。

四、结语

模型思想是一种基本的数学思想。无论是从新课改发展动态来看，还是从数学学习本身来看，数学教师都应着力培养学生的数学模型思想，以此将实际生活与数学知识有效联系起来，促进增强学生对数学概念、公式及定理的理解与运用，促使学生能够从模型的角度对生活中的实际问题进行抽象、简化、假设与论证，将生活问题转化为数学问题，并有效求解。在实际教学中，数学教师要引导学生贯通生活与数学，并能够将模型思想灵活运用于数学学习之中，将实际问题转化为数学模型，以此培养学生的逻辑思维能力，增强学生数理分析能力，提高学生实际问题的分析能力和解决能力，提升学生的数学核心素养。

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Discuss on the Application of Model Thought in Mathematics Teaching

Tang Lingxia

（Mengba Town Central Primary School， Zhenyuan County， Qingyang City， Gansu Province， Zhenyuan 744506， China）

Abstract： Model thinking is an important part of students mathematics core competence. Mathematical model is a scientific or engineering model constructed by using mathematical logic methods and mathematical language. The process of students learning mathematics is the process of model construction. Starting with the research and development of mathematical model thought， this paper analyzes the significance of the application of model thought in mathematics classroom teaching， and probes into the application strategy of model thought in mathematics teaching from the aspects of deeply excavating teaching materials， refining mathematical models， skillfully setting problems， cultivating modeling consciousness， summarizing reflection and internalizing model thought， practicing migration， promoting model application， graded teaching， constructing model thinking， student-centered and perfecting model process.

Key words： mathematicalmodel；problemsolving； mathematicsin primaryschool；modelthought