李文东

(广东省中山市中山纪念中学 528454)

2020年全国Ⅰ卷理科数学第20题以直线和椭圆为背景，考查圆锥曲线的基本知识和直线过定点问题，考查转化与化归思想、推理论证能力、运算求解能力，体现了数学运算、数据推理等核心素养，是一道难得的好题，值得我们细细研究，下面我们给出本题的几种典型的解法，并从不同角度给出了一些拓展.

1 题目呈现

图1

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

2 题目解析

2.1 第(1)问解析

所以a2=9.

2.2 第(2)问解析

证法1 设P(6,y0)，则直线AP的方程为

联立直线AP的方程与椭圆方程得

所以直线CD的方程为

评注用点P(6,y0)的坐标表示C,D的坐标，进而求出直线CD的方程，此解法的优点是思路自然，但缺点也很明显，就是运算量较大.

(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.

策略1合理运用韦达定理.

策略2恰当消元，减少变量个数.

策略3合理利用曲线方程简化运算.

代入,得

在此变换下直线x=6变为x′=2，点A,B变为A′(-1,0),B′(1,0).

图2

则tan∠P′B′x=tan∠A′B′D′=tan∠A′C′D′=3tan∠C′A′B′.

评注通过仿射变换化椭圆为圆来处理，然后利用圆的几何性质顺利解决问题，想法很巧妙，计算量很小，值得我们学习.除了以上几种解法外，本题还可以利用曲线系的方法求解，限于中学教学实际，这里我们就不细说.

3 问题拓展

从椭圆和直线的角度来看，本题可以拓展如下：

(a2+m2b2)y2+2mnb2y+(n2-a2)b2=0.

于是n=t，直线CD过定点(t,0).

如图3，用几何画板演示其结果是正确的，其本质是圆锥曲线中的极点和极线问题，但是用初等数学证明很困难.在双曲线和抛物线中也有类似的结论，这里不再赘述.

图3

从斜率的角度考虑，本题也可以拓展如下：

(36k2+4)x2-108k2x+81k2-36=0.

=3.

从逆命题的角度，我们可以得到如下问题：

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(0,1)的直线l与椭圆C交于不同两点P,Q(异于顶点)，记椭圆与y轴的两个交点分别为A1,A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上.

(2)由题意可设直线l的方程为y=kx+1，P(x1,y1),Q(x2,y2).

结合目标，消去x,得

(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2).

将韦达定理代入,得

从而y=4，即点S恒在直线y=4上.