王利之

(江苏省扬州大学数学科学学院 225000)

1 问题提出

本文的研究对象为含参函数，何为含参函数？含有参数的隐零点问题是：对于函数f(x,a)，其中a为参数，导函数f′(x,a)=0的根存在，却无法求出，设其根为x0，则由f′(x0,a)=0得出x0与a的关系.下面，我们试着从几道题目中探究不同的代换策略.

2 探究策略，链接高考

2.1 直接代换

例1(2020年新高考全国Ⅰ卷理21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范围.

所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增.

下面对a分类讨论，分为三种情况.

所以当x∈(1,x0)时，f(x)

所以g′(x)在(0,+∞)上单调递增.

又g′(1)=0，所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，所以函数g(x)在x∈(0,1)上单调递减，在x∈(1,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)=1，即f(x)≥1.

即f′(x)单调递增.

所以f(x)min=f(x0)=aex0-1-lnx0+lna.

综上所述，a的取值范围是[1,+∞).

2.2 转换主元代换

例2(2015年新课标全国Ⅰ卷文科)设函数f(x)=e2x-alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点个数；

2.3 变形代换

例3已知函数f(x)=x(ex+1-a).

(1)若a=2,求f(x)在区间[0,+∞)上的最小值；

(2)若f(x)-lnx≥1，求实数a的取值范围.

解析(1)a=2时f(x)最小值为0，证明略;

2.4 构造代换

例4已知函数f(x)=xe3x，若对任意实数x>0，f(x)-lnx≥(a+2)x+1恒成立，求a的取值范围.