沈 涛

(陕西省宝鸡市石油中学 721015)

一般来说，求解范围问题多构造不等式求解或者构造函数求值域、离心率的范围问题，还要结合相应的圆锥曲线的定义和性质，构造基本量a,b,c的不等式凑出离心率从而求解，或者构造离心率e关于某个变量的函数求值域，近年来，离心率范围问题主要有以下几种类型.

1 构造一元二次方程，利用韦达定理

转化为方程即(k-1)[b2k2+(b2-a2)k+b2]=0有三个不相等的正实根.

解得3b2

2 结合圆锥曲线定义及焦半径性质

3 构造不等式(组)求解

利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的基本量(a,b,c)适合的不等式(组)，通过解不等式组得出离心率的变化范围.

分析由题意设B(x0,y0)(-a

本题是最常见的求离心率范围的问题，其方法就是根据已知条件，直接列出关于a，b，c间的不等量关系，然后利用a，b，c间的平方关系化为关于a，c的齐次不等式，除以a2即为关于离心率e的一元二次不等式.

4 构造函数求值域求解

把所讨论的离心率作为一个函数的自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围.

分析由椭圆的定义及对称性求得|AF|+|BF|=2a.

在Rt△ABF中利用直角三角形的性质求得

|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα.

所以2csinα+2ccosα=2a.

分析由已知a2=m2+4,b2=3，

则c2=a2-b2=m2+4-3=m2+1.

5 利用余弦定理构造均值不等式

分析设|PF1|=m，|PF2|=n，根据余弦定理得出mn，则m+n=2a.

由余弦定理,得

6 利用三角函数的有界性构造不等式

所以a2cos2θ+b2(sinθ-1)2≤4b2.

在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理构造a,b,c的不等关系或e关于某个变量的函数，把握好圆锥曲线的相关性质，灵活运用构造法，从而达到快速解题的目的.