吴伟燕

(浙江省宁波市姜山中学 315191)

圆锥曲线习题一般难度较大，对学习者的分析以及运算能力要求较高.为提高学习者解答圆锥曲线题的能力，应注重解题方法的灌输，尤其应做好数形结合法在解题中的应用示范，提高学习者的数形结合意识，使其更好地把握应用细节，顺利、高效突破相关习题.

1 借助数形结合求直线斜率

直线与圆锥曲线的关系是高中数学中的热门考点.解答该类问题的思路有两种：一种是代数方法，借助复杂的运算进行求解.一种是几何方法，通过数形结合，借助几何图形的相关性质进行解答.

该题难度中等.因不知道点M的具体位置，因此，解题时应先分析出点M的位置.根据题干描述画出对应图形，运用数形结合法借助直线平行性质寻找角度和|MF|与|MA|比值的关系得出直线与抛物线相切，而后合理设出直线参数不难解答.

解析设点M为第一象限的点，过点M向直线x=-1引垂线，垂足为点B，画出图1所示图形，则BM∥x轴，∠BMA=∠MAF.

图1

设直线AM为y=k(x+1)，将其和y2=4x联立，整理，得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.

①

其中Δ=-16k2+16=0，解得k=±1，将k=1代入①解得x=1，此时y=±2，即M(1，2).

2 借助数形结合求离心率

解答问题不仅需要搞清楚圆锥曲线中各参数之间的关系，如椭圆以及双曲线方程中a，b，c的关系是不一样的，而且离心率的范围也不同，需要具体问题具体分析，尤其是提高数形结合应用意识，迅速找到解题的切入点.

该题难度中等，考查的知识点较多.很多学习者阅读题目后不加思索，只考虑一种情况，导致求得的结果不全面.

解析根据题干描述不确定A，B的位置关系，需要进行分类讨论.

图2

(2)当点A，B在y轴异侧时，设点A在第一象限，如图3，则|AF|=b，|OF|=c，|OA|=a.

图3

由勾股定理可得|OB|2=|AB|2+a2.

则∠BOA=∠AOF=60°.

3 借助数形结合求最值

求解圆锥曲线相关的最值问题时常将其转化为函数或者不等式问题，运用函数以及不等式的性质进行分析.但是该种解题思路的运算量较大，尤其在解答选择题、填空题时应注重另辟蹊径，避免不必要的时间浪费.其中运用数形结合法，借助等量代换、对称等知识可达到化难为易的良好效果，是解答圆锥曲线选择题以及填空题的常用方法.

例3已知抛物线y2=4x上存在一点A(4，4)，点F是抛物线的焦点，在直线x=-1上存在一动点P，则|PA|+|PF|的最小值为( ).

该题难度不大，但是具有一定技巧，若采用的解题思路不正确，则难以有效突破.课堂上可预留时间先要求学习者思考，而后运用数形结合思想进行解答，并要求学习者做好听课总结，在头脑中建立清晰的解题模型.

解析由抛物线的方程为y2=4x，易求得点F(1，0)以及准线为直线x=-1.要求|PA|+|PF|的最小值则可运用几何知识进行分析.

根据题意画出图4所示图象，设点F关于直线x=-1的对称点为F′(-3，0)，连接PF′，则|PF′|=|PF|，即|PA|+|PF|=|PA|+|PF′|.

图4

4 借助数形结合求范围

解答圆锥曲线参数范围类的问题常转化为求解函数的值域问题.解题时先构建函数，而后分析出函数定义域范围.但是针对部分圆锥曲线习题根本无法构建相关函数，运用函数方法行不通.在这种情况下应注重考虑运用数形结合法进行解答.

A.[2，+∞) B.[1，2] C.[1，+∞) D.(0，2]

对于a|x|+b|y|=1，当x>0，y≥0时为直线ax+by=1；当x≥0，y≤0时为直线ax-by=1；当x≤0，y≥0时为直线-ax+by=1.

图5

本文结合自身教学经验，选择四道较为典型的习题，探讨数形结合在解答圆锥曲线中的应用，得出如下结论：其一，圆锥曲线习题设问的角度、考查的知识点存在较大差异,但是牢固掌握圆锥曲线的图象、性质是解题的基础.其二，影响圆锥曲线解题正确率的因素较多，其中运算能力、解题思路带来的影响较为明显.