关于古典概型中样本空间建构的思考

2022-08-01李伟

数理化解题研究 2022年19期

李伟

(湖南省长沙市恒定高级中学 410221)

样本空间的建构问题已成为近几年高考重点考查的内容之一，不论全国卷还是天津卷等在2021年、2020年都有考查相关知识的命题出现，可见对样本空间建构形式与方法必然成为高三复习重点.文[1]阐述了样本空间建构在解决概率悖论中所起的重要作用，虽然涉猎一些样本空间建构事宜，但缺乏在解决具体概率问题方面如何构建样本空间的详细说明，作为补充，下面重点谈谈样本空间建构问题，以达到在满足高三复习中对求解概率问题的需求，同时形成关于样本空间在解决概率问题所需思想方法等方面比较完整的体系.

1 关于确定样本点形式(维度)的思考

样本点是构建样本空间的关键，搞清楚样本点形式(维度)是形成正确样本空间的前提，下面通过示例说明如何确立样本点形式.

例1 抛掷一枚质地均匀骰子和一枚质地均匀的四个面标有数字1，2，3，4的正四面体，设事件A是“骰子点数为3或4”，事件B是“正四面体点数为1或3”.求事件AB的概率.

解析如果我们把A，B对应的样本点分别确立为事件A：3，4；事件B：1，3，由此得出事件AB样本点是3，显然是错误的.原因是，在确立样本点形式时，一般要从三个层面来思考：

一是要基于事件A，B形成的条件来进行思考.就此而言，本题样本点是由抛掷骰子和四面体产生的，每次试验结果呈现的是两个量，即骰子和四面体出现的点数，从这个意义上讲样本点应该是二维的.

二是基于由事件A，B出发求事件AB来思考.教材中定义事件AB运算就是通过集合的交集运算来实现的，从这个意义上讲，不同意义形成的两个事件A，B只有是二维形式才可运算.

三是基于古典概型中样本点等可能性的要求.从这个意义上讲，样本点一定体现出骰子和四面体随机出现的所有点数.

综合上述，该问题的样本点应该确立为“(骰子点数，四面体点数)”的形式(也可确立为(四面体点数，骰子点数)的形式).

据此，事件A的样本点是：(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4).

同理，事件B的样本点是：(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3).

事件AB的样本点为：(3,1)(3,3)(4,1)(4,3).其概率求解略，在此不多赘述(以下各示例相同).

例2抛掷一枚质地均匀骰子，设事件A是“骰子点数为3或4”，事件B是“点数为1或3”.求事件AB的概率.

解析基于例1的思考及由事件A,B形成的条件、其运算要求、古典概型的等可能性这三个层面的思考，其样本点应该确立为一维的.

即：事件A对应样本点是：3,4；

事件A对应样本点是1,3.

所以AB对应的样本点是：3.

列举这两个示例的目的是方便读者在体会确立样本形式(维度)时进行对照分析.

2 关于确定样本点数量的思考

解决了样本点的形式(维度)不等于能解决概率问题，还存在样本空间中样本点的数量问题，下面通过示例说明如何确立样本空间中样本点数量问题.

例3 已知盒中有质地均匀、无差别黑球和白球共计12只，其中黑球8只，白球4只，现从盒中一次随机取两个球，求取出两球为一黑一白的概率.

解析由上述论述知，一次取两个球的样本点一定是二维的，形式是“两黑、一黑一白、两白”，但样本空间不能是{(黑球、黑球)、(黑球，白球)、(白球，白球)}，原因是古典概型中“等可能”的要求没有得到体现.

事实上，从等可能角度已知条件已经决定了样本点(黑球、黑球)的数量必然要多于(白球、白球)的数量.

从运用计数方法计算可知：样本空间中(黑球、黑球)样本点有28个点对，(黑球，白球)有32个点对，(白球，白球)有6对，样本空间中样本点数为66对(这些数据运用组合计数知识易得，其概率求解是显然的，在此不多赘述，以下同此)，所以，是否满足等可能是思考解决这类问题的根本.

3 关于样本空间中样本点数量计算方法与不同取法关系的思考

在实际概率问题中经常会出现有放回、不放回等取法问题，涉及计数方法的选择问题，下面通过实例来说明如何选择计数工具来解决不同取法与计算样本空间中样本点数量的对应关系.

3.1 有放回取法

有放回取法是指取出计数后，又放回的选取过程，其特征是一次取法轮回的结果是已知条件始终不变，所以从计数方法角度讲就是可重复计数问题，从概率角度讲就是各取法之间相互独立，下面通过示例说明.

例4 已知盒中有质地均匀、无差别黑球和白球共计12只，其中黑球8只，白球4只，现每次从盒中随机取一个球后再放回，连续取两次，求取出两球为一黑一白的概率.

解析由于每次取一个，取出后又放回，所以再次取时的状况与上次一致，也就是每次取完，盒中球数、色泽等均不变化，所以样本空间中样本点数计算采取可重复元素的乘法原理来进行，其数量为12×12=144.

同理事件“两球为一黑一白”的样本点采取第一次取黑球或白球进行讨论，再借助乘法计数原理的方法来计算，其数量为8×4+4×8=64.

3.2 不放回取法

不放回取法是指取出后不再放回的选取过程，其特征是已知条件是变化的，从计数角度讲就是不可重复计数问题.从计数方法角度讲一般是采取排列、组合的计数方法(因为排列、组合就是不放回计数方法)，从概率角度讲就是各取法之间不相互独立.下面通过示例说明.

3.2.1 一次取一个，连续取两次的不放回取法

例5 已知盒中有质地均匀、无差别黑球和白球共计12只，其中黑球8只，白球4只，现每次从盒中随机取一个球连续取两次(取出后不再放回)，求取出两球为一黑一白的概率.

解析由于每次取出后不再放回，所以再次取时的状况与上次不一致，也就是盒中球数、色泽等均发生变化，由于涉及第一、二次取问题，所以计算样本空间中样本点数采用排列数计数方法，其数量为12×11=132.

同理，事件“出两球为一黑一白”的样本点8×4+4×8=64.

3.2.2 一次取两个的不放回取法

例6 已知盒中有质地均匀、无差别黑球和白球共计12只，其中黑球8只，白球4只，现从盒中随机取两个球，求取出两球为一黑一白的概率.

解析由于每次取出两个球，样本点结构不涉及两球之间的顺序问题，因此体现在样本空间和事件中的样本点计数方法都是组合思想.

3.3 其它可重复计数问题

例7A，B，C，D四位同学参加四个学生社团，要求每人只参加一个.设事件M表示“四位同学参加的学生社团各不相同”，事件N表示“同学A独自参加一个社团”，求P(M|N).

解析题中条件要求是除同学A独自参加一个社团外，其它同学可以一个社团有多名学生，每人不可参加多个社团，所以求解样本空间中的样本点数量采用重复计数和乘法计数原理的方法来进行，即样本空间中样本点的个数为4×3×3×3=108.

由以上示例可以看出，不同取法与样本空间样本点数量求解其实就是计数原理来决定的，只要结合题目条件，抓住问题的本质，采用适当的计数原理，所有问题都能迎刃而解.

4 关于样本空间分割在求解概率问题的思考

恰当地对样本空间进行分割可以简化概率运算，下面通过示例谈谈如何分割样本空间求解概率问题.

例8 全国掀起的新考改带来志愿填报方式及数量的新变化.如某省本科志愿填报时，设置了80个“专业+院校”的平行志愿(各“专业+院校”能否录取相互独立)栏目供考生填写，由此也产生“冲、保、稳”等很多填报策略.某高中毕业考生在志愿填报时连续选择填报了20个录取概率为0.1的“专业+院校”志愿，问该考生能被这些高校中某个录取的概率.

解析由已知得该样本空间可分割为两个部分，一部分是被录取的样本点构成，另一部分是由没有被任何院校录取的样本点构成，而两者刚好是对立事件，因此下列解法就显得十分简洁.

考生没有被任何一所院校录取的概率为：0.920≈0.12，所以考生能被所填报的高校中某个录取的概率为1-0.12=0.88；

由此可见，该考生被录取的可能性很大，所以从概率角度讲，在填报志愿时，大胆选择一些录取可能性很小的高校进行填报的策略是可行的.

例9 轰炸机轰炸某目标，它飞到距离目标400米、200米、100米处的概率分别是0.5，0.3，0.2，它在距离目标400米、200米、100米时投弹命中率为0.01，0.02，0.1，求目标被命中的概率.

解析由已知得，飞机轰炸目标投弹只是在400米、300米、100米的情况下进行的，也就是目标被命中与否是在这三种状况下进行讨论的，所以样本空间可被分割为飞到距离目标400米、300米、100米这三种情况进行投弹，并且目标被命中，这样样本空间就被分割成三个部分(400米、300米、100米投弹是否击中)情况下是否命中的问题，也就是全概率问题(进而借助满足全概率公式即可解决).

上述自然语言用符号语言表述：设事件A表示“距离目标400米投弹”，设事件B表示“距离目标200米投弹”，设事件C表示“距离目标100米投弹”，设事件D表示“目标被命中”.

则事件D=AD+BD+CD.

由于各事件互斥，所以P(D)=P(AD)+P(BD)+P(CD)，再利用乘法公式(在此不过多赘述)即可得P(D)=0.031.

由此可以看出，例9是运用对立事件分割样本空间，转化为借助对立事件概率公式求解.例10是采取一般的将样本空间分割成若干个互斥事件，转化为借助全概率公式求解.由此可以看出，只要根据问题的条件，采取适当分割样本空间方法就能给解题带来方便.