杨喜军 吴 双 梁 言

(上海交通大学 电气工程系电力传输与功率变换控制教育部重点实验室， 上海 200240)

电磁场或电磁波作为能量的一种形式，是当今世界最重要的能源存在与传输形式，应用领域涉及电磁能产生、存储、变换、传输和使用。电磁场对物质的影响与物质的性质有关，电磁场理论不仅是物理学的重要组成部分，同时是电工技术的理论基础，也是一些交叉领域学科生长点和新兴边缘学科基础，主要涉及宏观电磁场的基本概念、基本原理和基本规律，培养学生对电气工程中电磁现象和电磁过程进行定性分析和定量分析[1-4]。

作为“电磁场理论”课程，虽然与“大学物理”课程的电磁学内容上有交叉，但前者注重电磁场的空间特性，特别强调场在空间中每一点的性质，分析时多采用场的微分方程。对教师而言，“电磁场理论”难教；对学生而言，“电磁场理论”难学、难懂和难用，畏惧心理很强。

“电磁场理论”的教学不应限于“象牙塔”，在学科交融、产学互补的新工科背景下以及分析手段趋于多样化的条件下，单纯采用数学语言去描述复杂物理现象的教学模式显然已不再合适。采用各种可行手段和方法，使“电磁场理论”教学面向新工科教育(EEE)认证和成果导向教育(OBE)模式， 能够运用现代工具，开发、选择和使用恰当的现代工程工具和信息技术工具，对复杂工程问题进行可视化辅助分析[5-8]、预测和模拟。本文以硕士研究生电磁场理论的一份结课作业为例，帮助学生将枯燥的电磁场理论理解转化为有趣的、工程可视化的过程，加深对电磁场理论学习的感性认识。作业内容为计算高频电磁场无线输电线圈参数，采用Matlab对两个阿基米德螺线平面线圈完成互感计算，再通过COMSOL平台搭建相关模型进行对比验证。

1 “电磁场理论”的可视化教学设计

“电磁场理论”的可视化教学设计主要包括以下几个环节：①描述方程与分析方法；②线圈互感的模型分析；③线圈互感的数值计算；④线圈互感的仿真验证。

1.1 描述方程与分析方法

其中方程①：电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度 (高斯定律)；方程②：磁感强度的散度处处等于零(高斯磁定律)；方程③：电场强度的旋度等于该点处磁感强度变化率的负值(法拉第定律)；方程④：磁场强度的旋度等于该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和(麦克斯韦-安培环路定律)。

矢量分析为复杂物理规律提供了紧凑的数学描述，自然地也是电磁场理论数学表述的重要手段，掌握矢量分析对理解电磁场理论起着决定性作用。矢量分析基础主要包括标量场的梯度、矢量场的散度和旋度以及亥姆霍兹定理。梯度、散度和旋度描述了场在空间变化情况，亥姆霍兹定理明确了研究电磁场理论的主线，即稳恒场和时变场都是围绕着它们的旋度、散度和边界条件展开理论分析。

1.2 线圈互感的模型分析

图1 两个线圈互感示意

根据毕奥-萨伐尔定律(Biot Savart Law)，C1线圈激发的磁场如下：

(1)

再由磁势方程，得到积分路径C2中的磁通为

(2)

(3)

可得两个任意轨迹线圈之间的互感方程：

(4)

其次，需要基于柱坐标系确定两个平面线圈的轨迹。两个中心对准、轴向距离可变的阿基米德螺线平面线圈如图2所示。

图2 两个平面阿基米德螺线平面线圈

两个线圈的三维轨迹方程分别如下：

(5)

(6)

二者之间的距离为

(7)

最终，根据互感方程式(4)，得到两个阿基米德螺线平面线圈的互感表达式为

(8)

1.3 线圈互感的数值计算

接下来，通过Matlab对两个线圈的互感值进行数值计算。Matlab是美国MathWorks公司于20世纪80年代中期开发的高性能数值计算软件，具有友好的工作平台和编程环境、简单易用的程序语言、强大的科学计算机数据处理能力。

如果设定两线圈的内径Ra和Rb均为3 cm，匝数n1和n2均为15匝，匝间距S1和S2均为5 mm，只改变两线圈之间的距离h，令其从2 cm到50 cm变化，变化步长为2 cm，计算得到的互感值散点及其拟合曲线如图3所示。由图3可知，线圈互感随着轴向距离的增大而减小。

图3 线圈互感数值计算结果

1.4 线圈互感的仿真验证

COMSOL是一种通用的基于高级数值方法和模拟物理场问题的通用软件，包含结构力学模块、化学工程模块、热传递模块等八大模块，使物理现象在计算机上重现，有助于解释多物理场现象。为验证理论计算互感的准确性，采用COMSOL搭建阿基米德螺线平面线圈模型，通过有限元分割方式分析互感。主要建模步骤如下：设置平面线圈和外界空气域的几何模型，给定线圈和空气材料属性，进行模型网格分割操作，选择物理场接口边界条件，如图4所示。

(a)几何建立

(b)设置材料

(c)网格剖分

(d)确定边界条件图4 COMSOL建模关键步骤

需要特别指出，在该模型中，放置于地面的线圈要通入1 A直流单位电流，悬空线圈则闭合。稳态情况下，地面线圈耦合到悬空线圈的磁通在数值上即为两线圈之间的互感。仿真分析时，物理场采用磁场(MF)，空气域最外层指定为完美匹配层。当程序运行结束后，根据互感定义公式，通过线积分定义计算悬空线圈周围的磁通量，从而得到该模型中两个线圈的互感，如图5所示。当线圈内径均为3 cm，匝数均为15匝，匝间距均为5 mm，轴向距离为10 cm时，可得互感为37.976 μH。

图5 定义线积分计算互感

在COMSOL平台中，同样保持线圈内径、匝数和匝间距不变，改变轴向距离h从2 cm到50 cm，步长为2 cm，运行程序即可得到仿真值，并将其与理论计算值进行比较，如图6所示。

图6 COMSOL仿真值与理论计算值比较

由图6可知，基于COMSOL模型仿真分析得到的耦合线圈互感值与理论推导数值计算得到的互感值高度重合，验证了理论分析的正确性。

2 结语

“电磁场理论”是一门概念性非常强的课程，由一系列概念、原理、理论和模型组成。为了消除教学时，面临学生“难学”和教师“难教”的问题，可以运用可视化手段着手解决。电磁场理论适用范围广，交叉学科多，可以安排交叉学科的结课作业，如本文MHz无线输电领域发射级线圈与接收级线圈之间形成互感的理论计算与仿真验证，采用了数学计算软件Matlab和多域仿真软件COMSOL。结果是，学生作业质量完成得非常满意，对电磁场理论不再陌生和恐惧，反而能够做到学以致用，掌握了多种计算和仿真工具，为后续科研打下厚实基础。