廉熠鋆, 刘金明

（华东师范大学 精密光谱科学与技术国家重点实验室, 上海 200241）

0 引 言

测量是人类探知自然界的一个重要手段, 也是物理学和工程科学中的一项重要内容. 在经典度量学中, 标准量子极限 (散粒噪声极限) 是参数估计所能达到的理论精度极限. 而随着量子力学的发展,人们发现使用量子手段可以提高测量精度, 使测量的精度极限突破标准量子极限逼近或达到海森堡极限[1]. 这种使用量子手段对系统的参数进行估计, 即是量子参数估计, 也是量子度量学研究的核心问题. 量子度量学作为统计推断和量子力学相结合后在精密测量领域的最新研究前沿, 通过利用诸如纠缠和压缩等量子性质, 可大幅度提高测量的精准程度[2]. 而量子Fisher 信息(QFI)是量子度量学中一个十分关键的概念, 它从理论上给出了未知参数估计精度的上限. 因此, 在研究量子参数估计问题时,人们往往通过计算QFI 来获知最终所能达到的估计精度的极限情况[3]. 然而, 实际操作中任何物理系统都不可能完全地孤立于外界环境, 系统总是不可避免地会与周围环境发生相互作用, 并受到各种噪声的影响, 从而导致系统退相干[4-5]. 目前退相干环境中, 量子物理量的动力学演化特性已经被许多学者所关注, 其中退相干环境中关于QFI 的动力学研究已经取得了很大的进展[6-8]. 人们发现, 非马科夫记忆效应与经典驱动相结合, 可以对单个原子系统中相位参数的QFI 进行保护, 从而提高对该系统中相位参数的估计精度[7-8].

同时, 由于理论物理的快速发展, 相对论框架下的量子信息理论受到了越来越广泛的关注. 量子信息科学、弯曲时空量子场论、弦论和广义相对论等理论的相结合, 不仅拓宽了量子信息科学的研究范围, 也让人们对Hawking 辐射和Unruh 等量子热效应有了新的认知[9]. 近年来, 不少研究者致力于弯曲时空下量子效应的研究[10-11], 例如, Shi 等[10]在Schwarzschild 时空下对量子关联的变化进行的研究表明, 在物理可达到区域, 量子关联受到Hawking 辐射的抑制, 其大小由状态参数决定; Liu 等[11]利用QFI 对κ形变时空进行参数估计, 并就时空性质是如何影响估计的精度进行了讨论. 尽管在相对论框架下对量子信息的探索已经取得了很大的进步, 但是弯曲时空中量子精密测量仍然值得人们不断地探索. 在此背景下, 本文在GHS 膨胀黑洞时空下, 对噪声环境中qubit-qutrit 系统的QFI 的演化进行了探究, 并提出了相应的QFI 保护方案. 希望本文的研究能对相对论框架下、弯曲时空中未知参数的精密测量提供一些有价值的思路.

1 基本概念

1.1 GHS 膨胀黑洞时空中Dirac 粒子的真空结构

GHS 膨胀黑洞的度规可以写为[12]

其中,

1.2 量子Fisher 信息

量子Fisher 信息(QFI)是经典Fisher 信息和量子测量理论相结合在量子力学框架下的推广, 它从理论上给出了未知参数估计精度的上限, 是参数估计研究中一个十分重要的物理量. 假设1 个量子系统含有待测参数θ, 其所处状态用ρ(θ) 描述, QFI 的定义式为[15]

其中,L是对称对数求导算符, 满足等式

QFI 的表示形式有很多种, 在密度矩阵对角化表象下, 它可以表示为[16]

公式(13)中:ψi和λi是密度矩阵ρ(θ) 的本征态与相应的本征值;S表示ρ(θ) 的非零本征值个数.

1.3 噪声信道

振幅阻尼(Amplitude Damping, AD)信道作为一种常见的噪声模型, 反映了量子系统向环境耗散能量的过程. 在真空态下, 三能级系统的振幅阻尼信道的过程可以用Kraus 算子来描述[17], 具体为

当量子态通过振幅阻尼通道时, 量子系统的能量将会向环境耗散. 式(14)中的参数r ∈[0,1] 是量子系统能量耗散到环境中去的几率, 也用来表示振幅阻尼噪声环境的退相干强度.

相位阻尼(Phase Damping, PD)信道描述了一种特殊的退相干过程, 即在信息处理的过程中, 由于承载信息粒子的散射而造成的量子信息的损失, 但是在这个过程中系统能量并不会发生耗散. 三能级系统的相位阻尼信道的过程可以用Kraus 算子来描述[18], 具体为

其中,r ∈[0,1] , 表示相位阻尼噪声环境的退相干强度.

2 噪声环境下QFI 的保护

本章以GHS 膨胀黑洞时空为背景, 对噪声环境下QFI 的演化及保护进行了探究. 假设, 在渐进平直的Minkowski 时空中, Alice(A)和Bob(B)各持有1 个qutrit 粒子和1 个qubit 粒子. 首先, 让这两个粒子进行纠缠形, 成1 个纠缠的qubit-qutrit 量子初态, 这个初态表示为

其中,γ ∈[0,π] 是状态参数. 初态的纠缠度在参数γ从 0 增加到 π/2 的过程中单调递减, 当γ=π/2 时,初态成为完全可分态; 而在γ从 π/2 增加到 π 的过程中, 初态的纠缠度单调递增; 当γ=0 或 π 时, 初态成为最大纠缠态.

随后, 在某个时刻, 让Alice 仍处于惯性渐进平直时空中, 而让Bob 自由地落向GHS 膨胀黑洞, 并以一定加速度在黑洞视界附近盘旋. 根据公式(9), 可以将初态ρAB用Alice 的Minkowski 波模和Bob 的黑洞波模进行改写. 由于黑洞视界的存在, 视界内部区域与视界外部区域是因果不相关的. 通过对黑洞视界内部区域的模求迹, 可以得到物理可获取系统 ABI的约化密度矩阵

接着, 假设Alice 在惯性渐进平直时空中遭受噪声环境, 而Bob 依旧以一定加速度盘旋在黑洞视界附近. 此时, 物理可获取系统 ABI的约化密度矩阵会演化为

2.1 噪声环境下QFI 的演化

首先探究在Alice 通过AD 信道后, 物理可获取系统 ABI中黑洞膨胀参数D的QFI 的演化. 设定参数γ=0.2.基于公式(14)、公式(17)和公式(18)可以给出, 在Alice 通过AD 信道后, 物理可获取系统 ABI的密度矩阵为

其中,N1是归一化系数,N1=2+2rsin2γ; 矩阵各元素为

图1 描述了对于不同的AD 信道参数D,FAD(D) 随退相干强度r的变化. 从图1 中可看出, 在AD 信道下, 随着退相干强度r的增加,FAD(D) 单调减小. 这意味着在AD 信道的影响下, 对黑洞膨胀参数估计精度的上限将会降低.

图1 对于不同的AD 信道参数 D , FAD(D) 随退相干强度 r 的变化Fig. 1 The values of FAD(D) with the change of the amplitude damping strength, r, for different values ofD

其次, 基于公式(15)、公式(17)和公式(18)可以给出, 在Alice 通过PD 信道后, 物理可获取系统ABI的密度矩阵为

矩阵各元素为

图2 描述了PD 退相干信道下, 参数D的FPD(D) 随退相干强度r的演化. 从图2 不难看出, 随着退相干强度r的增加,FPD(D) 呈现减小的趋势, 但是这种减小对于QFI 来说十分微小. 这意味着本文所选的量子态在相位退相干信道下有很强的鲁棒性, 可以较好地抑制相位噪声.

图2 对于不同的PD 信道参数 D , FPD(D) 随退相干强度 r 的变化Fig. 2 The values of FPD(D) with the change of the phase damping strength, r, for different values ofD

2.2 运用弱测量保护QFI

2.1 节分析了退相干通道对参数D的QFI 的影响. 结果表明, 在AD 信道下, 膨胀参数D的QFI 会随着退相干强度r的增大而单调减小. 为了提高噪声环境下待估参数的QFI, 在这一节, 本文将引入弱测量和对应的弱测量反转操作. 由于量子系统自身的脆弱性, 通过传统的Von Neumann 正交测量获取量子系统的信息时会对量子系统造成不可以逆转的损坏. 然而随着弱测量方式的提出, 当对系统量子态实施弱测量操作后, 再通过适当的测量反转操作, 可以使系统量子态以一定概率恢复到初始状态,从而保护退相干下的量子态. 弱测量作为一种抑制单个量子比特阻尼噪声干扰的可行性方法, 已经得到了广泛的关注和应用. 这里先引入适用于qutrit 系统的弱测量算符及弱测量反转算符. 对于qutrit 态来说, 所对应的弱测量算符可以表示为[18]

其中, 0 ≤p0,q0<1 是弱测量操作强度. 对于qutrit 态来说, 所对应的弱测量反转算符可以表示为[19]

其中, 0 ≤p,q<1 是反转测量强度.

这里给出QFI 的保护方案, 详见图3. 如图3 所示, 假设在Alice 经历噪声通道前先对其进行一个弱测量操作, 然后在其经历过噪声通道后再对其进行一个弱测量反转操作. 通过对比不进行任何操作时参数D的QFI, 检验弱测量对提高噪声信道中QFI 的效果.

图3 利用弱测量保护QFI 的方案Fig. 3 Scheme for protecting QFI by weak measurements

经过图3 所示的过程后, 物理可获取系统 ABI的约化密度矩阵可写为

将公式(17)、公式(21)和公式(22)代入公式(23), 公式(23)则为

其中,

矩阵各元素为

弱测量保护QFI 方案的成功几率pAD为

基于以上探究, 知道了弱测量操作对QFI 的调控效果. 为了获得上述现象的物理解释, 本文对经历图3 所示操作后, 末态纠缠度的变化进行了探究. 量子纠缠被称为“量子力学的精髓”, 是量子理论中一个十分重要的物理量, 是量子计算、量子通讯和量子信息处理过程中重要的资源之一. 这里选取的纠缠度量方法为负性熵纠缠(Negativity). 若两比特系统的密度矩阵为ρAB, 则其Negativity 可以写为[20]

图4 (D) 随退相干强度 r 的演化Fig. 4 The values of (D) with the change of the amplitude damping strength,r

图5 (a) Negativity 与弱测量强度 p0 和 q0 的等高线图; (b) Negativity 与测量反转强度 p 和 q 的等高线图Fig. 5 (a) Negativity versus measurement strengths p0 and q0 ; (b) Negativity versus measurement reversal strengths p andq

此外, 图6 给出了方案的成功几率pAD随弱测量强度q0和反转测量强度p的变化. 根据图6(a)可以看出, 当退相干强度r一定时, 随着弱测量强度q0的增加,pAD呈现单调减小的趋势, 这也就意味着弱测量强度越高, 方案成功几率越低. 而图6(b)中展示的pAD随弱测量反转强度p的变化趋势与图6(a)相似, 当退相干强度r一定时, 随着反转测量强度的增大, 方案成功几率pAD单调减小.

图6 不同退相干强度 r 下, (a) pAD 与弱测量强度 q0 的变化关系; (b) pAD 与测量反转强度 p 的变化关系Fig. 6 (a) The values of pAD with the change of weak measurement strengths, q0 , for different strength values of r, (b) The values of pAD with the change of measurement reversal strengths, p , for different strength values of r

3 结 论

本文以GHS 膨胀黑洞时空为背景, 探究了不同量子噪声信道中物理可获取系统量子Fisher 信息的演化. 研究表明, 在AD 信道中, 黑洞膨胀参数D所对应的QFI 会随着退相干强度r的增大而减小;然而在PD 信道中, 退相干强度r的变化却几乎不会影响参数D的QFI. 这也就意味着本文所选的量子态可以更好地抑制相位噪声, 即在相位退相干下有较强的鲁棒性. 此外, 本文还证明了弱测量方案在AD 噪声环境下保护QFI 的有效性, 并就方案的成功率进行了计算. 结果表明, 通过选取合适的弱测量强度和反转测量强度, QFI 可以实现显著提高, 但这个过程要以较低的成功率为代价.