韦珍

例 如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，求∠BPC的度数.

解法1 如图2，在△ABC中，

∠A=40°，

∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

所以 ∠ABC+∠ACB图2

=180°-∠A

=180°-40°

=140°.

因为∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，

所以∠1=12∠ABC，

∠2=12∠ACB;

所以∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB

=12（∠ABC+∠ACB）

=12×140°=70°.

在△PBC中，∠1+∠2+∠BPC=180°，

所以∠BPC=180°-（∠1+∠2）

=180°-70°

=110°.

解法2 如圖3，延长BP，交于AC点E，

在△ABC中，∠A=40°，

∠A+∠ABC+∠ACB=180°.

所以∠ABC+∠ACB

=180°-∠A=180°-40°=140°，

因为∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，

所以∠1=12∠ABC，∠3=12∠ACB;

所以∠1+∠3=12∠ABC+12∠ACB

=12（∠ABC+∠ACB）

=12×140°=70°.

因为∠2=∠1+∠A，

∠BPC=∠2+∠3，

（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）.

所以∠BPC=（∠1+∠A）+∠3

=（∠1+∠3）+∠A

=70°+40°=110°.

解法3 如图4，连接AP.

在△ABC中，∠A=40°，

∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

所以∠ABC+∠ACB

=180°-∠A=180°-40°=140°，

因为∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，

所以∠1=12∠ABC，

∠2=12∠ACB，

所以∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB

=12（∠ABC+∠ACB）

=12×140°=70°.

又因为∠3=180°-（∠1+∠5），

∠4=180°-（∠2+∠6）.

所以∠3+∠4

=[180°-（∠1+∠5）]+[180°-（∠2+∠6）]

=360°-（∠1+∠2+∠5+∠6）

=360°-（70°-∠A）

=360°-（70°+40°）

=250°.

所以∠BPC=360°-（∠3+∠4）

=360°-250°

=110°.

解法4 如图5，作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.

因为∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，

所以点P是△ABC的内切圆圆心.

因为BP平分∠ABC，

所以∠1=∠2.

又∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

所以∠3=∠4.

同理∠5=∠6.

所以∠5+∠3=∠6+∠4，

在四边形ADPE中，

∠A+∠DPE+∠ADP+∠AEP=360°，

所以∠A+∠DPE=360°-90°-90°=180°，

所以∠DPE=180°-∠A=180°-40°=140°，

又因为∠DPE+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，

所以∠3+∠4+∠5+∠6

=360°-∠DPE

=360°-140°

=220°，

又∠5+∠3=∠6+∠4，

所以∠5+∠3=∠6+∠4=12×220°=110°，

所以∠BPC=∠6+∠4=110°.