贺艳

【摘要】函数是数学发展史上经久不衰、变化无穷的一个版块，从初中数学到高中数学，函数一直占有举足轻重的地位.我们知道，函数的研究是以基本初等函数为基础的，在高中数学中，会较为系统地学习指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，而在初中数学里，由于学生的认知水平有限，一下子接受一个庞大的、系统性的知识版块有难度，所以教材采用了“从个别到一般”的方式，即先学习几个典型的函数模型，让学生慢慢了解函数世界.

【关键词】一次函数;函数性质;解题思路

初中数学主要研究的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数，其中，一次函数是初中数学的重要内容，是学生学习函数的入门模型，无论是函数的概念、作图，还是对函数性质的认知，都是从一次函数开始的.前文说了，函数是一个变化无穷的版块，其研究的一个重要思路，就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到无限可能的初等函数.所以初中数学的很多考题都会以两个一次函数为基础，进行四则运算和复合的改变.

我们知道，对于函数f （x）与g（x），四则运算指的是加、减、乘、除，即f （x）+g（x），f （x）-g（x），f （x）·g（x），f（x）g（x）.而复合运算是高中时才学习的一种函数变化方式，指的是把f （x）看作一个整体，代入到g（x）的表达式中作为其“x”，即f [ g（x） ].假设两个一次函数y1 = k1 x+b1 （k1，b1是常数，k1≠0），y2 = k2 x+b2 （k2，b2是常数，k2≠0），下面就上述的五种组合形式进行常见问题的分析.

1 两个一次函数相加：y = y1+y2 = （k1+k2） x+（b1+b2）

我们发现，两个一次函数相加后，依然是一次函数，判断方法就是整理后的表达式是否满足一次函数的定义——形如y = k x+b （k，b是常数，k≠0）的函数，称为一次函数.

相加后的新一次函数的k = k1+k2，在判断k>0还是k<0时，需要对原来两个一次函数k1和k2的正负情况做判断，判断方法就是根据题目条件，例如给出图象，根据图象经过的象限（经过一、三象限则k>0，经过二、四象限则k<0）可以进行确定.如果k1和k2同号，那么k的符号就随之确定了;如果k1和k2是异号，k无法确定，就必须进一步根据别的题目条件 （例如图象的倾斜程度）进行判断.同理，相加后的一次函数的b = b1+b2，与y轴的交点就会由b1和b2的正负情况决定，即b1和b2同号时，b>0，图象必交于y轴正半轴;b1和b2异号时，要根据两者的绝对值大小进行确定 （如根据y1和y2的图象与y轴的交点位置判断）.

2 两个一次函数相减：y = y1-y2 = （k1-k2） x+（b1-b2）

两个函数相减时，我们依然需要对其整理后的形式进行判断，即能否“形如”一次函数，不难发现，这取决于k1-k2与b1-b2是否取0，故而分为四种情况：

（1）k1-k2 =0，b1-b2 =0，即k1 =k2，b1=b2时，这表示原本两个一次函数就是同一个函数.此时相减后表达式y=0，即相减后的函数图象就是x轴.

（2）k1-k2=0，b1-b2 ≠0，即k1=k2，b1≠b2时，这表示原本两个一次函数图象相互平行.此时相减后表达式y = b1-b2，这是一个常值函数，图象是一条垂直于y轴的直线，且与y轴交点为 （0， b1-b2）.

（3）k1-k2 ≠0，b1-b2 ≠0，即k1≠k2，b1≠b2时，这与两个函数相加情况类似，两个一次函数相减后，依然是一次函数.但不同的是，这个一次函数的k = k1-k2，b = b1-b2，在k1与k2、b1与b2异号时可以很快确定k和b的正负，反而是同号时不好确定了，需要根据题目中的其他条件做进一步判断.

（4）k1-k2 ≠0，b1-b2 =0，即k1≠k2，b1=b2时，这表示原本两个一次函数图象彼此不平行，但是与y轴的交点相同，也相交于点（0，b）.此时相减后表达式y = （k1-k2） x，这表示相减后成为一个正比例函数，k = k1-k2，情形与（3）类似，只不过图象必过原点.

3 两个一次函数相乘：y = y1·y2 = （k1 x+b1）· （k2 x+b2）

两个一次函数相乘，发生了非常有趣的变化，它成为了初中数学中另一个非常重要的函数模型——二次函数！不难发现，y = （k1 x+b1）·（k2 x+b2）就是二次函数表达形式中的两点式，展开后，我们就可以得到这个二次函数表达式的一般式：

y =k1k2x2+ （k1b2+k2b1）x+b1b2

类比于二次函数一般式的标准形式：Y=Ax2+Bx+C（A≠0），我们得到A =k1k2，b=k1b2+k2b1，c=b1b2.我们由二次函数的相关知识可以作出一系列判断：

（1）由一般式中二次项系数k1 k2的正负确定函数图象的开口方向;

（2）由一般式中的常数项可知，图象必经过点 （0， b1b2），即与y轴的交点位置;

（3）由两点式可知，求二次函数与x轴的交點，即令k1 x+b1 =0和k2x+b2=0，也就是说，原来两个一次函数图象与x轴的交点位置，就是相乘后的二次函数图象与x轴的交点位置.这是非常奇妙的一个相通之处，也就是说，通过一次函数图象的交点位置，就可以迅速知道二次函数图象与x轴的两个交点在哪里，正负情况如何，那么根据两个交点的对称关系，就能够判断出对称轴所在位置;也可以根据韦达定理，知道二次函数的a、b、c的正负关系.

此外，关于二次函数的顶点坐标、最值等性质，因涉及到k1、k2、b1、b2的表达式非常复杂，难以判断，这里就不作详述了.

因为二次函数也是初中数学的重点考察内容，所以这种奇妙而有趣的变化，常常作为考题出现，例如：

例1 已知一次函数y1 = k1 x+b1（k1，b1是常数，k1≠0），y2 = k2 x+b2（k2，b2是常数，k2≠0）的图象如图所示，则函数y = y1·y2的图象可能是（）

解析 由一次函数图象经过的象限可知，k1<0，k2>0，所以k1 k2<0，二次函数图象开口应向下，排除A选项;再由一次函数图象与y轴交点的位置可知，b1>b2>1，所以b1 b2>1，二次函数图象与y轴的交点应在（0，1）的上方，排除D选项;最后由两个一次函数图象与x轴的交点分别是（1， 0）和（-2， 0），确定二次函数与x轴的交点也是这两个位置，从而锁定正确答案C选项.

4 两个一次函数相除：y=y1y2=k1x+b1k2x+b2，y2≠0

我们发现，y1 = 0时，y = 0，所以相除后的函数图象与x轴的交点与y1图象与x轴的交点是相同的.但由于分母不为0，即y2≠0，所以此时严格意义上来说y2已经不是一个完整的一次函数（抠除了x轴上的那个点）.如果进一步整理，可以得到y=k2b1-k1b2k2k2x+b2+k1k2，我们发现表达式中只有一个分母中出现x，其他都是常数，所以该函数是反比例函数基础上的一种变化形式，这里涉及到平移变化和伸缩变化，不是初中数学讨论的重点，这里就不作延伸了.

5 两个一次函数复合：y = k2（k1x+b1）+b2=k1k2·x+ （b1k2+b2）

我们发现，两个一次函数复合后，依然是一次函数，这个一次函数的k = k1k2，那么只要知道k1和k2的正负情况，无论同号异号，都可以确定k>0还是k<0.而复合后的函数b = b1k2+b2，就要根据几个字母各自的正负情况、大小关系去综合判断了.

除了上述的五种常规组合外，还有一些人为定义的组合形式，即所谓的“新定义”题型，需要学生分析题目含义，灵活运用所学知识进行解答.

例2 若两个一次函数y= k1x+b1（k1≠0），y=k2x+b2（k2≠0），则称函数

y=（k1+k2）x+b1b2为这两个函数的组合函数.

（1）一次函数y=3x+2与y=-4x+3的组合函数为;若一次函数y=ax-2，y=-x+b的组合函数为y=3x+2，则a =，b=;

（2）已知一次函数y=-x+b与y=kx-3的组合函数的图象经过第一、二、四象限，求常数k、b满足的条件;

（3）已知一次函数y=-2x+m与y=3mx-6，它们的组合函数一定经过的定点坐标是.

解析 首先明确本题定义的组合函数形式，发现组合函数依然是一次函数，其k =k1+k2，b=b1b2，确定k和b后就可用一次函数的相关知识去解答.

（1）k=3+（-4）=-1，b=2×3=6，

所以组合函数为y=-x+6;同理，第二组函数的组合函数的k=a+（-1）=a-1，b=（-2）×b=-2b，

所以组合函数应为y=（a-1） x-2b，根据题目给的组合函数y=3x+2，把常数值对应起来，

就可得到a-1=3，-2b=2，

进而求出a=4，b=-1;

（2）同上，可得组合函数为y=（k-1）x-3b，由于图象经过第一、二、四象限，由一次函数知识可得，k-1<0，-3b>0，解不等式得k<1，b<0.

这里还有一个小陷阱，就是k≠0，这是一次函数天生自带的属性，学生很容易遗忘，往往会捡了西瓜，但丢了芝麻.

所以正确答案应是：k<1且k≠0，b<0;

（3）同样先得到组合函数表达式y=（3m-2）x-6m，要求不论何值，一定经过定点.

定点问题一直是初中数学的一个难点，在这里关键的一句话是“不论何值”，要先搞清楚不论谁的值.这里是指不论m取何值，x和y都能取到固定的值（即过定点）.

如何让m取任意值都不影响x和y呢？那就得把m從表达式中“灭掉”，即让m的系数为0！这是求定点、定值问题常用的思路.

所以我们把含有m的项进行合并同类项，整理得：

y=（3x-6）m-2x，再令3x-6=0，即x=2，

代入求得y=-4，即过定点（2， -4）.

通过上述分析，我们可以真切地感受到函数的变化无穷，灵活多样，而每一种“变”的背后，又有其不变的规则、规律、结论，学习函数版块就要有这种以不变应万变的思维，打开思路，抓住核心知识，才能轻松驾驭.