刘莉

刘 莉 湖北省教育科学研究院小学数学教研员，正高级教师，特级教师。华东师范大学“国家优师专项计划”师范生兼职导师、中南民族大学硕士生导师。教育部首届国培专家，中国教育学会小学数学教学专业委员会副秘书长，湖北省教育学会常务理事、学术委员，湖北省教育学会小学数学专业委员会副理事长、秘书长，主持多个国家级重点研究课题。

【摘 要】本文以人教版数学五年级上册“多边形的面积”单元为例，结合对已有教材编排单元的分析，提供大概念下“多边形的面积”单元架构的思考与设计。

【关键词】核心素养 大概念 单元教学 多边形的面积

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）课标强调核心素养，以核心素养为纲，同时倡导以学科大概念（有的研究者称之为“大观念”或“核心概念”）为核心，使课程内容结构化，以促进学科核心素养的落实。

什么叫“学科大概念”？它不是指学科中某一具体的概念或方法，而是这些具体知识背后能反映学科本质的、更为核心的、具有普遍性和广泛解释力的原理和思想方法。学科大概念具有抽象性、中心性、意义性、结构性、包容性和迁移性等基本特征，它关注碎片、零散知识背后的结构、联系、规律，追求知识能力的应用和迁移。

大概念通常与单元整体教学相结合。单元整体教学中的“单元”，既可以是教材中已有的单元，也可以是教师根据教学内容在结构上的联系等重新组合的“教学单元”。单元整体教学的意义在于弥补课时教学对知识的整体性、结构性和联系性等重视不够的问题，具有贯通上位学科核心素养与下位课时教学目标之间承上启下的基础性作用。

筛选和提炼学科大概念是开展大概念教学的前提，学科大概念的提炼需要凸显学科的本质和特征，并依据课标要求，以及基于学生发展的需要。其提炼路径有两种：一种是自下而上的凝练路径，即基于课程内容，对照学科素养，对知识进行本质提炼;另一种是自上而下的凝练路径，即基于学科素养，分解课程知识，指向大概念并加以升华。

2019年5月，依托北京市教科院张丹老师主持的教育部基础教育课程教材发展中心小学数学学科教研基地“大概念下的单元教学实践”课题，笔者带领湖北小学数学教师团队开展了素养导向下的小学数学“大概念下单元教学”的探索与实践。以下是我们选取人教版数学五年级上册“多边形的面积”单元，尝试通过大概念、大问题、大项目、大任务来组织教学，将单元内容结构化的思考与实践。

在进行素养导向下的大概念单元建构时，我们思考的问题有：已有的单元编排有什么不足？学科大概念如何提炼？大概念下的课程知识如何架构？单元中各部分内容的教学设计如何进行？

一、对已有编排单元的思考

教材中的“多边形的面积”单元，以长方形面积计算为基础，以图形内在联系为线索，以未知转化为已知的基本方法展开。具体来说，就是运用化归法，把平行四边形转化为长方形、把三角形转化为平行四边形或长方形、把梯形转化为平行四边形，再求出面积。化归的具体方法主要有割补法和倍拼法：探究平行四边形的面积计算方法时常用割补法，探究三角形和梯形的面积计算方法时常用倍拼法。

“多边形的面积”单元在编排上多分为平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、组合图形的面积与不规则图形的面积五部分，每一部分内容的教学课时为1～2个课时。这样以“一种图形一个教学段落”的编排方式，客观导致了知识的碎片化和方法上的孤立性，不能很好地促进学生在解决问题时自己设计解决问题策略的数学思维的形成，以及缺少灵活运用知识解决问题的机会，削弱了学生在探究这几种图形的面积计算方法时对数学研究方法的一致性和可迁移性的体会。

二、学科大概念的提炼

大概念的核心是关注碎片或零散知识背后的结构、联系、规律，追求知识能力的应用和迁移。那么，在教学“多边形的面积”时，平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积以及组合图形、复杂平面图形的面积计算方法之间有什么样的联系和规律呢？上述方法与学生之前探索长方形、正方形面积计算的方法之间又有怎样的联系？探索解决所有平面图形的面积计算方法时，与学生“面积”概念的学习之间可以建立怎样的联系？前两个问题侧重方法的迁移与一致性，后一个问题侧重知识的联系与结构。

我们通过研究数学教材发现，各版本数学教材在认识“面积”的内容上，都安排了比较图形面积大小的实践操作，让学生体验比较面积大小策略的多样性。学生借助○、△、□等自选单位进行比较后，感知用正方形进行测量、比较的优点：能密铺、测量方便，建立起“用正方形作面积单位”的观念。后续学习中，学生将进一步认识到用正方形作为面积单位的优越性：规定的科学性——边长为1个长度单位，其面积规定为1个面积单位，既满足了数与形的统一，又保持了由长度单位到面积单位以至今后到体积单位前后定义的一致性;形状的唯一性——如面积是1平方厘米的正方形只有一个，而用其他形状作面积单位时，形状往往不具备唯一性。随后的“面积单位”内容中，教材通过认知冲突让学生体会“统一面积单位的必要性”。在建立1平方厘米、1平方分米、1平方米的表象的活动中，学生依据“用正方形作面积单位”这一认知经验，进一步建立起面积单位的实际意义：边长是1厘米的正方形，面积就是1平方厘米;边长是1分米的正方形，面积是1平方分米;边长是1米的正方形，面积是1平方米。各版本数学教材在“做一做”等练习活动中，也通过在方格纸上“数图形面积”“画面积单位”“估一估哪个面积最大或最小”等活动，让学生进一步了解面积的含义，渗透面积的大小与面积单位的个数有关且与图形的形状无关，发展学生的面积守恒观念。其后，在“长方形的面积和正方形的面积计算”的学习中，学生通过摆放面积单位的活动，探究并掌握长方形和正方形的面积计算方法。在计数所用面积单位的个数时，无论是最朴素、最基本的直接数出面积单位个數的方法，还是先数出每行的个数和行数，再用乘法计算出面积单位的个数的方法，都帮助学生积累了丰富的关于度量的数学活动经验，培养了学生归纳概括和解决问题的能力。

基于教材和学生学习基础的分析，如何从学科本质角度发掘本单元“更为核心的、具有普遍性和广泛解释力的原理和思想方法”？我们从度量的本质入手，围绕度量的两个核心要素——“度量单位”和“度量单位的个数就是量的大小”，设计“数方格”活动，用方格纸和方格纸上的各种平面图形作为活动情境和研究材料，以“数出这些图形的面积”这个任务作为大概念的承载体，让学生在探索“非直角”图形面积的过程中，进一步感受和运用度量的思想和转化的方法，以度量思想和转化方法统领“多边形的面积”中具体知识、技能的学习，使学生通过本单元的学习，形成一致性的、“将未知转化为已知”的方法，使学生由对长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等一个个具体图形面积计算方法的“知识覆盖”，走向“度量观念下的知识、方法和能力的统领”，感受学习内容之间、数学研究方法之间的一致性和可迁移性，从而实现以少而精的观念达成对数学学科的深度理解。在此基础上设计专题学习活动，让学生寻找知识间、方法间的联系，运用已有知识经验解决问题。学生在整体设计的活动中展开数学思考，展现解决问题的多种方法，促进了数学核心素养的发展。

三、大概念下“多边形的面积”的单元架构

我们对“大概念”的提炼采用的是基于课程内容，对照学科素养，对知识进行本质提炼的自下而上的凝练路径。在进行单元教学整体设计时，我们发掘原有单元知识之间的联系，结合学生已有的认知，确定新的学习主题和学习目标，明确各学习主题的课时内容和课时数，设计达成学习目标的相关活动，实现从整体到部分的优化整合。

“多边形的面积”单元分为平行四边形的面积、三角形的面积、组合图形的面积、解决问题（不规则图形的面积）、整理和复习六部分，前三个内容的课时数均为2课时，后三个内容的课时数均为1课时，单元总课时数为9课时。下表为基于大概念的单元整体设计结构：

在确立了大概念下的单元学习主题、学习目标和课时数后，接下来是围绕每节课的学习目标设计达成目标的相关活动，以“大任务”或“大问题”的解决承载大概念的落实。

“多边形的面积”单元中各学习主题的“大任务”或“大问题”如下：

1.开启课：“数面积”

复习长方形面积推导过程后，出示一组在方格纸上画出的图形（如图1，方格纸中每个小方格的边长为1厘米）。提出问题：你有办法数出下面图形的面积吗？

图1

设计意图：出示常见的规则和不规则的图形，以方格纸为支架，让学生通过观察、比较、想象、操作、推理得到不同图形的面积，并交流方法。学生根据经验，首先选择熟悉的、易数的图形进行汇报，进而尝试运用“割补法”或“倍拼法”进行转化，不仅实现了自主学习、主动探究，更是在思想方法层面体会转化等思想方法，从解决问题的方法角度整体把握将未知图形转化为已知图形的方法。通过“数方格”计算出图形所含面积单位的总个数，突出度量学习的本质意义。

2.探究课：平行四边形的面积

教师课件出示下面的平行四边形（如图2），提问：这个平行四边形的面积是多少？没有方格图了，你还能求出它的面积吗？

设计意图：在“数面积”学习活动中，学生已掌握利用割补、平移的方法将一个图形转化成长方形，通过数出小方格的个数来求出它的面积。因此，即使本节课不再提供方格纸，学生也能充分利用上节课的经验，通过独立思考、动手操作，尝试用多种方法把平行四边形转化为长方形，求出平行四边形的面积。这里支撑解决大任务的关键问题有：怎样把平行四边形变成长方形？变成长方形以后面积有没有改变？得到的长方形与原来的平行四边形有什么联系？你们能推导出平行四边形的面积吗？提示学生可以在学具纸片上画一画、剪一剪、拼一拼。通过生生交流、师生交流，学生对推导过程进行梳理、反思，归纳得到平行四边形的面积计算公式。

3.探究课：三角形和梯形的面积

复习平行四边形的面积推导过程与方法后，教师出示直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角梯形和非直角梯形，提问：你能像上节课那样，探究、归纳出三角形和梯形的面积计算公式吗？你打算先研究这些图形中哪个图形的面积？为什么？

设计意图：由于推导三角形和梯形的面积计算方法时常用的都是“倍拼法”，因此将这两个图形的面积计算方法的探究安排在同一节课，突出对培养学生解决问题的能力的重视，彰显方法学习高于知识技能掌握的理念。在前两节课积累的知识与经验的基础上，较多学生先选择直角三角形和直角梯形展开探究，他们将直角三角形或直角梯形转化成长方形的方法主要有两种：沿中位线割补和“倍拼法”。本节课，教师重点引导学生体会用“倍拼法”探究出这两种图形的面积计算方法。学生无论是先尝试探究直角三角形的面积计算方法，还是先探究直角梯形的面积计算方法，都能借助之前掌握的推导方法和经验，通过“转化—找联系—推导公式”，完成探索任务。

4.拓展课：还有别的推导方法吗

学生回忆用“倍拼法”推导出三角形和梯形的面积计算方法的过程后，教师提问：除了“倍拼法”，你还能想出哪些方法呢？如果只用一个三角形或一个梯形，你还能将其转化成学过的图形从而推导出它们的面积计算公式吗？

设计意图：给学生提供利用割补法或折叠法将一个三角形、梯形转化为已知图形的学习机会，激发学生的数学思考，发展学生的空间观念，积累学生的数学活动经验，培养学生的观察能力、概括能力和推理能力。随后介绍《九章算术》中记载的计算三角形面积的方法，渗透数学文化，了解古人的智慧。

5.探究课：有联系的面积公式

引导学生复习已学过的平面图形的面积计算公式，用字母分别表示面积计算公式，说一说面积计算公式是怎样推导出来的，以及在口算几个平面图形的面积后，教师创设“图形家族，争论谁最重要”的童话故事情境。平行四边形说：“我最重要，因为三角形和梯形的面积公式都是由我推导出来的。”长方形对着平行四边形微微一笑，说：“你可是通过我推导出来的哟！”梯形不服气地说：“推导面积公式的时候虽然要先把我变成你们，但是记面积公式的时候，只要记住我就能把你们都记住！”随后多媒体即时演示：当两条平行线之间梯形的上底缩小为0时，图形成为三角形（如图3）;当上底与下底相等时，图形或变成平行四边形或长方形或正方形……这时再提出“大任务”：请你先用字母表示刚才看到的变化前后的图形的面积，再分析梯形说的是否有道理。

设计意图：让学生借助多媒体演示看到梯形面积与三角形、平行四边形、长方形、正方形面积之间的关系变化，结合用字母表示变化前后图形的面积，沟通图形面积公式之间的联系，形成以梯形面积公式为“通式”的结构图式，渗透转化思想，感受数学思想方法的魅力。

6.综合与实践活动课：校园的占地面积

教师播放学校宣传片后出示校园平面图（如图4），提出“计算学校的占地面积”任务。

设计意图：作为综合与实践活动课，本节课关注学生活动方案如何制订、如何分工、如何测量和计算，以及活动后的反思与评价;提供实践活动记录单（见图5），引导学生经历活动过程，发展学生综合运用知识解决问题的能力。

7.跨学科综合与实践活动课：设计课桌

课前布置学生搜集与活动课桌设计有关的资料，观察、思考家里的书桌与教室里的课桌、录播室的课桌有什么异同点，并探究原因。课堂上让学生通过对搜集的资料进行交流和思考，认识设计课桌面时需要考虑的因素有很多，如是否便于拼摆、分组活动，桌面形状和面积大小，材料和价格，等等。教师在此基础上提出“为学校设计一间录播室活动课桌”的“大任务”，同时提供以下信息：活动教室的面积为60平方米，每次容纳30名学生活动，桌面材料的类型和价格分别为钢材800元/m2、板材600元/m2、塑料400元/m2，学校预算经费为10万元。

设计意图：“设计课桌”对学生来说是一个极具挑战性的任务，学生需要综合考虑课桌面积大小、形状，每张桌子坐的人数，课桌的张数，材料的单价，预算经费，等等。这个跨学科综合实践活动，让学生经历了提出设想、制订方案、调整实施方案、反思评价等过程，并从中学会分析处理信息、批判性地思考、团队合作和创造性地解决问题等能力。

通过实践我们体会到，单元教学设计赋予了“单元”更深刻的意義，融入了教师对于教学内容的创造性思考和整合。“大概念”指向学科本质，彰显学科价值，概括学科结构，提供思维模型，具有广泛的迁移性。“大概念”下单元学习对学生未来学习更有支持意义，能更好地发展学生的数学核心素养。