沈 远，陈相宇，张希疆，叶 云，倪云林*

(1.舟山市自然资源测绘设计中心，浙江 舟山 316021；2.浙江海洋大学海洋工程装备学院，浙江 舟山 316022)

0 引言

波浪在从外海向近岸传播过程中，遇到出露海面的岛屿就会发生绕射，从而引起波高在岛屿岸线及周边海域的分布变化。准确模拟波高的分布情况对于海岸及近海工程的规划设计、施工安全和运营管理具有十分重要的意义。缓坡类方程是一种用于计算近海海域波浪传播变形的数学模型，可以综合考虑波浪的折射与绕射，具有计算效率高、计算精度好等优点。

原始的缓坡方程由荷兰Delft水力学研究所的BERKHOFF[1]在1972年推导得到。他基于线性波浪理论和缓坡假定，通过沿水深积分，得到了一个二维椭圆型偏微分方程，并将其命名为缓坡方程(mild slope equation)。该方程形式简单，应用范围广，因此引起了许多学者的研究兴趣。BOOIJ[2]利用缓坡方程计算了斜坡海底对波浪的反射，阐明了对于坡度小于1∶3的缓坡而言，缓坡方程的计算结果具有足够的精度。KIRBY[3]将沙波地形分解为一个缓变地形和一个小振幅快变地形的叠加，推导了扩展型缓坡方程(extended mild slope equation)，从而改进了缓坡条件的限制，拓宽了缓坡方程在斜坡小振幅快变地形上的应用。CHAMBERLAIN et al[4]在推导过程中保留了坡度平方项(sloped-squared term)和地形曲率项(bottom curvature term)，得到了修正型缓坡方程(modified mild slope equation),不仅提高了缓坡方程在陡变和快变地形上的计算精度，而且进一步拓宽了缓坡方程的应用范围。

许多学者应用缓坡类方程研究了波浪在岛屿地形上绕射的问题。HOMMA[5]给出了波浪经过抛物形浅滩上圆形岛(即Homma岛)的级数解。LIU et al[6]采用Padé逼近方法，推导了有限水深波经过Homma岛情况下缓坡方程的逼近解析解。随后，LIN et al[7]、LIU et al[8]、NIU et al[9]、KUO et al[10]采用解析方法开展了波浪在岛屿地形上绕射的研究。解析解的提出为数值解提供了验证方法，但通常只有在某些规则的岛屿地形下才能得到。在数值研究方面，刘红玲[11]以洪广文推导的非定常线性波缓坡方程为基础，采用经典的ADI法开展了岛屿水域波浪场的数值模拟。张军 等[12]提出了岛体边界条件，利用缓坡方程建立了计算域中存在直立岛式结构物时波浪传播的数值模拟模型。本文将采用混合元方法对修正型缓坡方程进行数值求解，在对其进行验证的基础上，详细探讨工程尺度背景下，波浪入射周期、浅滩形状参数和岛屿尺寸等因素对波浪绕射的影响。

1 控制方程和数值解法

1.1 控制方程

BERKHOFF推导得到的缓坡方程为

▽·(ccg▽φ)+k2ccgφ=0

(1)

(2)

6kh(2kh+2sinh2kh)(cosh22kh-2cosh2kh+3)]

(3)

分别表示地形曲率项系数和坡度平方项系数。由此得到修正型缓坡方程：

▽·(ccg▽φ)+{k2ccg+g[u1(h)▽2h+

(4)

1.2 数值解法

图1 内域和外域划分示意图

(5)

其中:

(6)

(7)

(8)

内域为地形变化区域，用六节点三角形单元进行划分，速度势φ可以写成：

(9)

其中：φi是三角形单元各节点速度势，Ni是三角形单元各节点的形函数。

通过等参变换并采用Galerkin方法可建立单元Ω内的矩阵方程：

(10)

式中：

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：Nj、Nm是三角形单元各节点的形函数，hm是三角形单元各节点的水深，Li为内、外域公共边界s上的线单元形函数，n为内、外域公共边界s上的单位法向向量。

集合内域的各单元矩阵可得：

(15)

式中：q为总节点数，l为公共边界上的节点数。

通过内域和外域公共边界上的速度势连续和法向速度连续的匹配条件，可以建立方程求解的线性方程组，并采用高斯消去法求解。详细求解过程可参考文献[13]。

2 模型验证与讨论

2.1 模型验证

KUO et al[10]利用Bessel函数求解了波浪在三维圆形岛地形上绕射的长波方程解析解。如图2所示，三维圆形岛由半径为r0的圆形浅滩和其上半径为r1的圆柱形岛屿组成，距离浅滩中心r处的水深为

图2 三维圆形岛图示

(16)

式中：h0是三维圆形岛周围的常水深，β是浅滩形状参数。计算时，KUO et al[10]取r0=0.2π，r1=0.1π，h0=0.02，β先后取1和2，入射波浪波高为Hi，周期T=2，对应的波长L=0.883。

本文同样计算了上述参数条件下的两个算例(算例一中β取1，算例二中β取2)，对比计算得到的y=0断面上的相对波高[即沿程波高H(x)与入射波高Hi的幅值比]和KUO et al的解析解(图3)。由图可见，在浅滩形状参数β=1和2的两种情况中，本文的数值解与KUO et al的解析解均吻合很好，证明了本文数学模型的正确性。

图3 圆形岛y=0断面上相对波高本文数值解与KUO et al解析解的对比

2.2 讨论

针对波浪在三维圆形岛地形上绕射的问题，本节主要讨论波浪入射周期、浅滩形状参数和岛屿尺寸等因素对波浪绕射的影响，并按工程尺度选取计算参数。

2.2.1 波浪入射周期的影响分析

首先，取r0=200π m，r1=100π m，h0=20 m，β=1；考虑长周期重力波沿x轴入射，周期T先后取60 s、80 s、100 s，对应的波长L=836.860 m、1 117.659 m、1 398.135 m，h0/L=0.024、0.018、0.014。在不同周期的波浪入射情况下，y=0断面上的相对波高分布如图4所示，可以看出，随着入射波浪周期的变大，岛屿迎浪侧相对波高最大值有所减小，最小值有所增大；岛屿背浪侧的相对波高随之减小。但随着波浪远离岛屿，不同周期波浪的相对波高差异减小。

图4 不同周期波浪在圆形岛y=0断面上的相对波高分布

进一步研究不同周期的波浪在岛屿岸线上的相对波高分布，结果绘于图5。对于不同周期的波浪而言，相对波高均关于x轴对称分布。当T=60 s时，相对波高最大值为2.493，位于θ=180°处(即迎浪点)，相对波高最小值为0.452，位于θ=25°和335°处(即背浪点两侧25°)；当T=80 s时，相对波高最大值为2.314，位于θ=161°和199°处(即迎浪点两侧19°)，相对波高最小值为0.533，位于θ=30°和330°处(即背浪点两侧30°)；当T=100 s时，相对波高最大值为2.273，位于θ=180°处(即迎浪点)，相对波高最小值为0.596，位于θ=35°和325°处(即背浪点两侧35°)。这说明随着入射波浪周期的变大，相对波高最大值随之减小，发生最大值的位置位于迎浪点及其附近；相对波高最小值则随之增大，发生最小值的位置有远离背浪点的趋势。

图5 不同周期波浪在圆形岛岸线上的相对波高分布

2.2.2 浅滩形状参数的影响分析

接着，取r0=200π m，r1=100π m，h0=20 m，T=60 s，浅滩形状参数β分别取0.5、0.8、1.0、1.5。入射波浪同样沿x轴正方向传播，不同浅滩形状系数情况下，y=0断面上的相对波高分布如图6所示。可以看出，随着浅滩形状参数β的增大，岛屿迎浪侧相对波高振荡幅度加剧、最大值增加，岛屿背浪侧的相对波高也随之增加，这和浅滩形状参数增大，岛屿周围水深减小，波浪浅水变形增强密切相关。

图6 不同浅滩形状情况下圆形岛y=0断面上的相对波高分布

同样，研究了不同浅滩形状参数情况下，波浪在岛屿岸线上的相对波高分布，结果绘于图7。由此可见，岛屿岸线上的相对波高随着浅滩形状参数β的增大而增加，且相对波高的大小分布差异也随之增加；当β=0.5、0.8和1.0时，相对波高最大值均位于迎浪点(θ=180°)，分别为2.133、2.350和2.493；相对波高最小值均位于背浪点两侧约25°处(θ=24.5°和335.5°)，分别为0.412、0.435和0.452。当β=1.5 时，相对波高最大值为2.736，但不再位于迎浪点，而位于迎浪点两侧约25°处(θ=155.5°和 204.5°)；最小值为0.502，位于背浪点两侧约22°处(θ=21.8°和338.2°)。

图7 不同浅滩形状情况下波浪在圆形岛岸线上的相对波高分布

2.2.3 岛屿尺寸的影响分析

最后，取r0=200π m，h0=20 m，T=60 s，β=1.0，圆形岛半径r1分别取50π m、100π m、150π m，r1/r0=0.25、0.50、0.75。入射波浪依旧沿x轴正方向传播，不同岛屿尺寸情况下，y=0断面上的相对波高分布绘于图8。由图可知，随着岛屿尺寸的减小，岛屿周边的水深减小，波浪的浅水变形加剧，导致岛屿迎浪点及后方背浪侧的相对波高增加。从不同尺寸岛屿岸线上的相对波高分布情况(图9)也可以看出，随着岛屿尺寸的减小，岛屿岸线上的相对波高总体上随之增加；当r1=50π m、100π m、150π m时，即r1/r0=0.25、0.50、0.75，相对波高最大值分别为 3.147、2.493、2.076，均位于迎浪点(θ=180°)；最小值分别为0.803、0.515、0.269，并呈现出向背浪点靠近的变化趋势，即最小值发生位置分别为θ=31.8°和328.2°、θ=27.3°和332.7°以及θ=19.8°和340.2°。

图8 不同岛屿尺寸情况下圆形岛y=0断面上的相对波高分布

图9 波浪在不同尺寸圆形岛岸线上的相对波高分布

3 结论

本文通过混合元方法求解修正型缓坡方程，开展了波浪在三维圆形岛地形上绕射的研究，探讨了在工程尺度情况下，波浪入射周期、浅滩形状参数和岛屿尺寸等因素对波浪绕射的影响，结果表明：

(1)在沿波浪传播方向上，圆形岛迎浪侧的相对波高振荡幅度随入射波周期的减小、浅滩形状参数的增大和岛屿尺寸的减小而增大。波浪经过圆形岛，其背浪侧的相对波高同样随入射波周期的减小、浅滩形状参数的增大和岛屿尺寸的减小而增大，并且随着传播距离的增加而趋于一致。

(2)圆形岛屿岸线上的相对波高总体上随入射波周期的减小、浅滩形状参数的增大和岛屿尺寸的减小而增大；相对波高最大值大多数发生在迎浪点，个别发生在迎浪点两侧20°～25°处；相对波高最小值发生在背浪点两侧30°附近。这是由于当波浪的波峰靠近圆形岛时，迎浪点及两侧的水位抬高，相对波高达到最大值；水流沿圆形岛两侧流向背浪点并最终相遇，动能转为势能，相对波高在背浪点及附近发生最小值。