多状态多阶段任务系统的可靠度理论计算方法

2022-07-21孙志礼

东北大学学报（自然科学版） 2022年5期

孙尧, 孙志礼, 周杰, 王健

(1. 东北大学机械工程与自动化学院, 辽宁沈阳 110819; 2. 中山大学生物医学工程学院, 广东广州 510275)

随着科技发展及人们需求的提高,系统逐渐复杂化,表现为系统的多状态特性及任务的多阶段性,此类系统称为多状态多阶段任务系统(multi-state phased-mission system, MS-PMS)[1-2].MS-PMS广泛存在于航空航天、通信、电力等领域,且经常被配置到关键应用中,一旦发生故障,会造成很大的经济损失甚至人员伤亡.因此,对该类系统的任务可靠度有很高的要求[3].然而,系统的多状态特性与跨阶段依赖性导致其可靠性计算及评估极其困难.目前,这方面的研究已成为该领域的热点.

现阶段关于多阶段任务系统(phased-mission system, PMS)的可靠性研究大多针对二态PMS.Xing等[4]针对具有共因故障的PMS提出了一种基于二元决策图的可靠性分析方法.Mo等[5]针对多模式失效的PMS提出一种基于多元决策图的可靠性分析方法.Levitin等[6]提出一种精确评估由二态不可修部件组成的PMS可靠度的方法.

关于PMS可靠性研究的方法大致分为模拟方法与解析方法.与解析方法相比,模拟方法可用于更一般的系统,但计算效率明显较低[2].解析方法主要分为两大类:第1类为组合模型方法[5,7-9].该类方法可有效处理大规模系统,但只能用于部件相互独立的情形.第2类为状态空间方法[10-13].该类方法在建立系统动态行为方面具有优势,但一般只能处理中小规模系统.

随着系统复杂化,针对多状态系统(multi-state system, MSS)可靠性的研究逐渐广泛[14-16].然而,关于MS-PMS可靠性的研究还不多见.Shrestha等[17]应用多状态多元决策图评估了MS-PMS的可靠度.Yang等[18]应用加速模拟评估方法对MS-PMS进行了可靠度的估计.Cheng等[19]评估了公共总线性能共享的MS-PMS的可靠性.Yi等[20]通过对通用生成函数方法的扩展,提出一种多阶段任务的线性滑动窗口系统的可靠性评估方法.可见,现阶段对MS-PMS可靠度计算主要为基于决策图的分析与蒙特卡罗方法的模拟估计,以及特殊情形下的MS-PMS可靠性评估.缺少相应的可靠度理论计算方法.

为了进一步研究MS-PMS可靠度的精准计算,本文推导了部件劣化符合马尔科夫过程的MS-PMS可靠度的理论计算方法,并提出一种快速穷举部件状态组合的方法用于提高该计算方法的计算效率.通过蒙特卡罗模拟方法验证了该理论计算方法的准确性与计算有效性.该计算方法为复杂MS-PMS的可靠度精准预测提供了理论基础.

1 MS-PMS描述及其可靠的界定

1.1 系统描述

图1为本文所研究的MS-PMS的连接结构.

图1 系统串并联结构

部件状态组合可向量化表示为Y=(Y1,…,Yn).同时,根据系统结构,系统工作效率G可表示为

(1)

1.2 系统可靠的界定

图2 系统工作效率变化

2 MS-PMS可靠度理论计算方法

2.1 MS-PMS可靠度理论计算方法的推导

事件A发生的概率即MS-PMS的可靠度为

(2)

任务是按顺序进行的,则基于条件概率理论,MS-PMS的可靠度为

P(A)=P(A1)P(A2|A1)…
P(A2|A1∩A2∩…∩AZ).

(3)

对于式(3)的具体计算,分析如下:

假设部件的劣化过程符合齐次马尔科夫过程.记部件i(i∈{1,…,n})的状态转移率矩阵如下:

(4)

(5)

(6)

部件状态组合的样本空间YH(t)及样本数目H(t)如下:

YH(t)=

(7)

(8)

部件的劣化具有马尔科夫性,而且部件间的相关性及其他外界因素等不考虑.因此,基于式(6),系统由Y(hh)(hh∈{1,…,H})运行taz(z=1,…,Z)时长后转为Y(h)(h∈{1,…,H})的概率如下:

(9)

下面推导任务1的可靠度.

对于任务1,初始的部件状态组合为YA1,则任务1结束时刻部件状态组合为Y(h)(h∈{1,…,H})的概率为

(10)

记示性函数I(G,W)如下:

(11)

根据全概率公式,任务1的可靠度为

(12)

下面推导在任务1可靠的条件下任务2的可靠度.

即便确定任务1可靠,也不能确定在任务2开始时刻的部件状态组合,而只能确定每种组合的概率.应基于任务1可靠这个先验信息对YA2=Y(h)(h∈{1,…,H})的概率重新分配如下:

(13)

式(13)即为任务1可靠这个条件的含义.将依据式(13)计算的发生概率大于0的所有部件状态组合依次记为Y1(1),…,Y1(H1).则在任务1可靠的条件下,根据全概率公式,YA3=Y(h)(h∈{1,…,H})的概率如下:

(14)

同样根据全概率公式,在任务1可靠的条件下任务2的可靠度为

(15)

接着推导在任务1与2均可靠的条件下任务3的可靠度.

同理,仍要先确定在任务1与2均可靠的条件下,任务3开始时刻的每种部件状态组合的概率.基于任务1与2可靠这个先验信息对YA3=Y(h)(h∈{1,…,H})的概率重新分配如下:

(16)

式(16)即为任务1与2均可靠这个条件的含义.将依据式(16)计算的发生概率大于0的所有部件状态组合依次记为Y2(1),…,Y2(H2).则在任务1与2可靠的条件下,根据全概率公式,YA4=Y(h)(h∈{1,…,H})的概率如下:

(17)

同样根据全概率公式,在任务1与2均可靠的条件下任务3的可靠度为

(18)

到此可总结出MS-PMS的可靠度的计算方法,思路如下:

第1步,直接按式(10)求得任务1结束时刻的部件状态组合的概率,进而按式(12)求得任务1可靠度P(A1).

第2步,对于任务z(z∈{2,…,Z}),在任务1～z-1均可靠的条件下,任务z结束时刻部件状态组合为Y(h)(h∈{1,…,H})的概率为

(19)

根据全概率公式求得在任务1～z-1均可靠的条件下任务z的可靠度,计算如下:

(20)

最后,为了下一阶段任务即任务z+1的条件可靠度求解,除最后一个任务即任务Z外,需要对YAz+1=Y(h)(h∈{1,…,H})的概率基于任务1～z均可靠这个先验信息重新分配如下:

(21)

第3步,将所得的条件概率相乘获得MS-PMS的可靠度.

因为每一个条件概率的求解都是在前一个条件概率基础上的,必须按P(A1),P(A2|A1),…,P(AZ|A1…AZ-1)顺序依次求解.

2.2 MS-PMS可靠度理论计算的实现

推导的MS-PMS可靠度理论计算方法的伪代码如图3所示.

图3 MS-PMS可靠度理论计算方法伪代码

图中,R[v]表示向量R的第v个元素;R[v,d]表示矩阵R的v行d列元素;le(R)表示向量R的维数;GR(v)表示矩阵R的第v行对应的部件等效状态组合对应的系统工作效率值.矩阵YH表示样本空间YH.YH有n列,每行按部件顺序排列一种组合,而行数即为样本空间数目H.

获得样本空间YH的常规方法是多层循环逐个获得部件状态组合(方法二),该方法运行相对较慢.本文基于每个部件状态重复规律提出一种快速方法(方法一),可提高MS-PMS可靠度的计算效率.

3 MS-PMS可靠度理论计算方法验证

以图4所示系统为例,通过与蒙特卡罗模拟方法对比,验证推导的MS-PMS可靠度理论计算方法的准确性与计算的有效性.

部件相关参数如表1所示.

图4 用于理论计算方法验证的系统

假设系统要完成Z=3个任务.任务运行时长依次为分别为4,3,4,任务需求依次为80,60,45.MS-PMS可靠度理论计算方法与蒙特卡罗方法的对比结果如图5和6所示,其中N为蒙特卡罗方法的模拟次数.

分别分析N为100,1 000,5 000及10 000的情形,且每种情形进行10次模拟.如图5所示,随着N逐渐增大,模拟结果逐渐稳定于理论计算结果.这说明推导的MS-PMS可靠度理论计算方法是准确的.

表1 用于计算方法验证的系统部件参数

图5 理论计算方法与蒙特卡罗方法的结果

同时,由图5和6可看出,N为100时,虽然模拟运算时长小于理论计算的运算时长,但模拟结果波动性很大;N达到5 000时模拟结果与理论计算结果还没达到可接受的吻合,这时模拟运算时长已大于理论计算的运算时长;N=10 000时,模拟结果与理论计算结果几乎一致且模拟结果也相对稳定,但是模拟时长显著大于计算时长.这表明推导的MS-PMS可靠度理论计算方法显著快于蒙特卡罗模拟方法.

此外,图6还显示,相比于方法二,应用方法一穷举部件状态组合可使理论计算的运算时长缩短约0.04 s,即方法一可提高该可靠度理论计算方法的计算速度.特别是对于维修策略优化问题,