何铭

【摘要】 数学写作是一种行之有效的数学学习方式，解题回顾也是数学学习必不可少的过程.教师尝试以解题回顾为基础让学生进行数学写作，可以强化其解题过程中的元认知.数学写作可以帮助学生构建知识体系，巩固数学的基础理论知识，培养学生的数学解题能力，加强学生对相关数学知识内容的理解.同时，数学写作还可以帮助学生理解与掌握元认知，从而提高学生的元认知水平.学生在具体写作时可以围绕“对解题过程进行分步”“记录解题思路及由来”“对题目按解题方法进行分类”和“对解题活动总结”这四点展开，使数学写作成为有米之炊.

【关键词】数学写作;解题回顾;元认知

随着以“核心素养”为中心的课程改革的不断深入，数学交流、数学阅读、数学写作、数学项目式学习等新型数学学习方式出现在教学中，数学学习方式受到了越来越多的关注.在国内，自2017年5月5日“数学写作”学校联盟启动开始，数学写作在全国范围内推动了众多学校的学科教研和特色发展.但数学写作在初中数学教学中受学生知识面、理解程度等因素影响，实施范围较小，对于初一学生来说这种限制更加严重.本人在教学中尝试以解题回顾的形式打开学生的数学写作大门，并为日后展开数学写作活动打下基础.数学写作是学生表达对数学的思想与想法，将学习数学时所产生的情感体验表现在写作内容之中的数学表达形式，数学写作是实现师生有效交流的重要途径，教师在批阅数学写作时，应该对学生所表达的情感及时评价与回应.

一、解题回顾与数学写作

1.解题回顾

著名美国数学家、数学教育家波利亚在《怎样解题：数学思维的新方法》中把解题过程分为四个阶段：理解题意、拟订方案、执行方案和回顾.其中回顾是指：回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径.

解题回顾的过程中，除了要回顾有关知识、解题方法，更要回顾一开始是怎样探索的，走过哪些弯路，产生过哪些错误，为什么会出现这些弯路和错误等，最后形成解题经验.

2.数学写作

数学写作是指在学习目标的指引下，学生将所学的数学知识与实际问题整合起来，或者是对数学知识及其规律的认识，或者是自己对数学的困惑及理解，或者是与教师的沟通等，通过自主研究并整理写成数学文章的一种学习活动.活动形式有数学日记、数学周记、数学作文、数学小论文等.

3.基于解题回顾的数学写作

教学过程中，很多学生回答问题或与同学交流时，往往以答案开始以答案结束，没有呈现自己的解题思路.数学活动作为特殊的认知活动，数学元认知是客观存在的.数学元认知理论提出学生在参与解题活动的过程中会存在解题策略和对整个过程的监控，回到数学解题上其实就是解题思路的一部分.教师需要做的就是探索一些方法帮助学生主动思考、监控这个过程，并把它表达出来.

基于解题回顾的数学写作就是以解题回顾为内容，通过对解题方法和思路的体悟、总结等形式，把学生对数学的思考和体验整理成文的活动.这一活动过程的重点是把解题活动中思考、监控的过程用文字记录下来，也就是说不但要有完整的解题过程，而且要有方法、思路的生成过程.目的是把以前学生之间只能意会的数学变得可以言传.

二、基于解题回顾的数学写作的价值

一方面，《义务教育数学课程标准》2011年版的课程基本理念中提出：教师教学应引导学生合作交流，并且对义务教育阶段的数学学习明确提出了数学交流的目标要求.数学交流包括用书面或口头形式进行合理推断、表达数学观点、反思与评价自己和他人观点.数学写作是提高数学活动中接受信息和表达能力的手段，而初一学生用数学语言表达世界的工具有限，以解题回顾为内容来开展数学写作活动是比较合理的.同时，学生的数学表达能力得到锻炼，也为日后全方面开展数学写作乃至数学交流打下了基础.

另一方面，数学解题元认知能力的提升，可以使解题的元认知监控上升到自我意识的水平，只有当各种元认知监控达到不假思索、油然而生的境界，也就是上升到意识的层次才能使学生的数学解题能力达到自己的最高水平.因此，教师在解题的教学活动中，要刻意让学生通过监控自己的思考过程及对解题过程追根溯源提高自我监控水平.而基于解题回顾进行数学写作可以很好地完成这一任务，从而帮助学生深化对答案的理解，理清解题过程中每一步的作用、步骤之间关系和其中蕴含的数学思想方法，也促使学生思考用不同方法解同一道题目和将该题的结论或方法推广到其他题目.这也是华罗庚先生提出的“书要从薄读到厚，再从厚读到薄”的过程.

三、数学写作建立的试探

数学写作中遇到的首要问题是学生不知道可以写什么，因此数学写作需要具体的、可操作的行动才能真正落实，只有目标没有方法只能沦为空中楼阁.由于对象是刚刚升上初中的初一学生，数学写作可以选择对数学题的总结归纳，这时需要教师给予学生解题回顾的内容和数学写作的方法.下面从四点建议，谈谈初一阶段的数学写作内容.

1.对解题过程进行分步

“控制”是数学解题自我监控的主要因素之一，要求主体关注解题的过程性和层次性，有意识地控制自己的解题节奏，对整个解题过程做到心中有数，明确知道每一个解题步骤的意图.教师通过解题过程分步来进行数学写作可以帮助学生有意识地监控解题的过程，同时培养学生解题的程序性思维.要说明的是，这里的分步不需要细分到每一步的运算、证明，而是根据在题目中的作用对过程分模块，明确每个模塊在整个过程里的作用和原理，理清模块之间的关系.

案例1 绝对值的化简题

学生在数学写作中记录：

已知a，b，c的大致位置如图所示，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|.

解 Step 1：如图可知b<a<0<c

Step 2：且|a|<|c|<|b|

Step 3：∴a+c>0，b+c<0，a-b>0

Step 4：∴原式=（a+c）+（-b-c）-（a-b）

Step 5： =a+b-b-c-a+b

Step 6： =（a-a）+（b-b+b）-c

Step 7： =b-c

点评和修改建议：分步并不是把标准答案里面的一行当作一步，学生应该关注整个过程可以分为几大模块，每个模块要解决什么问题，模块之间是什么关系.例如，该题答案里面的第1，2行是解题的第一步：读图;第3行是第二步：判断正负;第4行是第三步：去绝对值;第5，6，7行是第四步：化簡.请根据上述建议修改并说明：这四个步骤之间的关系及做这一步的理由.

设计意图 数学解题元认知理论提出：对整个解题过程要做到心中有数，而且要意识到每个步骤的意图.这就要求学生对题目既要有全局意识，又要有局部意识，即要对解题过程进行有意义的分步并理清每一步的作用.学生在记录这一题的时候明显还不懂怎样分步，此时学生需要通过例子进行学习.因此，教师可以先把解题步骤告诉学生，让学生通过步骤来感受，接下来的工作由学生独自思考完成.

案例2 一道用作差法比较两数大小的题

学生在数学写作中记录：

若M=3x2-5x+2，N=2x2-5x-2，判断M，N的大小关系.

解 ∵M-N=（3x2-5x+2）-（2x2-5x-2）=x2+4>0，

∴M>N.

点评和修改建议：根据下列问题补充：1.这题主要用了什么方法？2.为什么是相减，原理是什么？3.这个方法的步骤、流程是怎样的？4.每个步骤的作用和依据是什么？

设计意图 这是一道比较两数大小的题目，题目通常用作差法解决.学生升入中学后会学习很多解题的基本方法和模型，但随着学习的内容越来越多，学生会迷失在众多的方法、模型之中.这是因为学生没有掌握方法的原理，知其然不知其所以然.学生在做总结的时候往往没有做更深层次的思考，为了改变这种现象，教师应该在教授数学方法时要求学生注意数学方法、模型背后的原理.

2.记录解题思路及由来

解题思路可以用解题经验来解释，就是某些数学知识、解题方法与某些条件的有序组合，成功是一种有效的有序组合，失败也可以从反面提供有效的有序组合.解题所做的脑力工作就在于回忆经验中用得上的东西，并且和解题思维联系起来.学生在回顾时应把解题时的尝试进行总结，不管这些尝试是成功的还是失败的，对下次解题活动来讲都是有参考价值的.另外，对没解出来的题目，拿到标准答案之后也应该尝试反推解题思路，这会成为日后的解题经验.

案例3 一道含参数的一元一次方程题

学生在数学写作中记录：

已知关于x的方程x3+a=|a|2x-16（x-6）

（1）当a取何值时，方程无解？

（2）当a取何值时，方程有无穷多个解？

（3）当a=3时，方程的解是多少？

解 由x3+a=|a|2x-16（x-6），

可得3-3|a|6x=1-a（二话不说，先化简.）

（1）由题意得3-3|a|6=0，

1-a≠0，解得a=-1

（问：为什么是一个=0，另一个≠0？）

（答：只有方程等号一边等于0，等号另一边不等于0，方程才会无解）

∴当a=-1时，方程无解.

（2）由题意得3-3|a|6=0，

1-a=0，解得a=1.

（无穷多个解，就是x的系数和常数项都为0）

∴当a=1时，方程有无穷多个解.

（3）当a=3时，原方程为x3+3=32x-16（x-6）（直接代入计算就好）

解得x=2

总结：这类题要分类讨论.

点评和修改建议：把自己的解题思路用口语化的表达记录下来很亲切，而且对于含参方程解的情况已经掌握得很好.在做总结的时候可以把问题的本质关于x的方程ax=b拿出来，然后把复杂的问题化归到简单的、已解决的问题上.

设计意图 解题过程以外的思路记录部分应鼓励学生用各种形式，可以是解题时画的草图、自问自答的对话、口语化的表达等，这些才是学生真实存在的思考内容，真实的内容才能对过去的经验进行分析和总结.除了成功的经验外，失败的经验也能为学生日后解题指导方向.如果学生大胆把自己失败的尝试过程记录下来，教师也要进行鼓励.

3.对题目按解题方法进行分类

学生要将陌生问题化归为熟悉问题，需要善于将所学内容联系起来，形成一个个知识组块，再对这些知识组块进行加工，形成一个条理清楚、层次分明的知识结构网络，这样就可以提高知识的检索与提取效率.一般来说，学生手头上与课程配套的练习是按课时编排的，不利于学生发现知识点之间的联系，而处理相关联的知识点的解题方法是类似的.因此，学生在总结归纳数学题时应该对题目按解题方法进行分类，将熟悉的解题方法归纳在一起，从而提高数学问题的探究能力.

案例4 整理第二章《整式的加减》典型题（1）

学生在数学写作中记录：

§2.1代数式学案（若干题）

§2.2单项式学案（若干题）

§2.3多项式学案（若干题）

……（若干份学案）

点评和修改建议：切忌传统错题本式的机械记录.不难发现，不同学案中会有处理方式一样的题，这些题的方法和思路是类似的，我们可以把它们归到一类，总结这一类题目的特点.如这一章里用整体思想进行代换的题目，可以放在一起研究它们的共同点，进而掌握这一类题目的解题方法.

设计意图 该生一开始以为整理就仅仅是把题目记录下来，没有挖掘该类数学题目的内涵和核心，这是沿用的传统错题本的经验.学生在刚接触数学写作时很多采用这种模式，这是学生小学时的学习经验，或是小学作业的要求，这种学习经验和作业要求，并不适用于初一的数学课堂学习.教师要改变这种情况需要“授之以渔”，更需要“授之以鱼”，即给出具体的一类题目让学生进行整理，加强学生整理归纳的能力，将同类型的题归纳整理为一种类型题.另外，数学写作除了是学生自己与自己交流、学生与教师交流，更应该是学生与学生之间的交流，所以教师可以展示优秀作品供大家互相学习、评鉴，学生在欣赏其他同学的数学写作作品之后，会不断完善自己的数学写作内容，努力提升自身的数学写作水平.

4.对解题活动总结

评价也是数学解题自我监控的主要因素之一，要求主体以理解性和发展性标准来认识自己解题的收获.评价应该贯串解题的四个步骤，但在解题后尤其重要，也是学生会忽视的一点.数学写作让学生在解题回顾时对解题活动进行总结，可以树立学生对解题活动总结的意识，并潜移默化地迁移到平时.在具体操作时，学生应该跳出题目本身，尝试总结更深层次的观点，如解决此问题的关键所在、解题过程的经验与教训、成功得失及其原因等.如在案例3中，学生把自己的个人感受和经验用一句话进行了总结，这是值得鼓励的，初一学生的这方面能力比较弱，需要循序渐进慢慢培养.

数学写作能够促进学生的深度学习，发展核心素养，这些目标并不能一朝一夕就完成.实践能发现和解决前进路上的问题，以上述几点内容尝试让学生实实在在动笔进行数学写作，即使这些试探还有些不成熟，也是学生走出万里长征的第一步.

【参考文献】

[1][美]G·波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011：1-26.

[2]涂荣豹，王光明，宁连华.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2006：118-142.

[3]仓万林，李红.合作 分享 成长：基于“数学写作”的学生、教师、学校成长模式探索[J].数学通讯，2019（14）.