变式训练教学模式在高中数学解题中的应用

2022-07-20杨庆科

数学学习与研究 2022年10期

杨庆科

【摘要】变式训练能够锻炼学生的数学解题能力，促使学生灵活运用所学的数学知识解答数学问题.但将变式训练教学模式应用于高中数学解题时，教师需要懂得对数学题目进行变式，以更好地引导学生进行解题.因此，本文结合高中数学有关例题，就如何应用变式训练教学模式展开分析.

【关键词】高中数学;变式训练;解题方式;分析

变式训练教学模式与传统的解题教学模式不同，其以多元化的变式题目对数学知识的应用与分析进行拓展，使得学生由一道基础问题的解答延伸至多元化变式题目的解答，有利于提升学生的解题思维能力.因而，变式教学模式的应用成为本文研究的重点.

一、在高中數学解题中开展变式教学的策略

（一）教师紧扣教学目标进行合理变式

教学目标是核心，所有的教学活动都是围绕这一核心开展的.基于课本例题和习题开展变式教学，通常的变式形式有以下几种.

1.类比变式

类比变式主要是思路与方法的类比，即通过解决某个典型的问题总结出思路和方法，变式的问题也用这个思路和方法解决.教师在进行教学设计的时候，可以把题型进行分类汇总，选一个典型例题作为母题，再结合该节课的教学目标进行变式设计.

2.逆向变式

教师在课堂教学中要重视培养学生的逆向思维，帮助学生对某个知识点、概念及定理进行多角度的解读和深化理解.学生在经历长时间的学习和大量的实践练习后，难免出现一定程度上的思维定式，如思路不够开阔、灵活运用知识解决一些数学问题的能力不够突出等.这就需要数学教师在课堂教学中专门为学生设计一些逆向变式例题，让学生进行思考与尝试，从中充分体会命题成立的必要性和命题的其他逻辑形式.例如方程与不等式的恒成立、几何题结论的逻辑推导和命题的逻辑论证这几类题都会涉及逆向变式思维，学生在解决这些问题的过程中对发展其逻辑推理核心素养有很大帮助.

3.变条件，变设问

就某道题而言，灵活改变条件或设问方式是目前进行变式教学最基本的方式，也是教师在教学初级阶段常采用的变式教学方式.对问题本质的理解和掌握仅仅靠对基础知识的识记是不够的，数学教师需要对知识点有系统地认识与把握，从多角度对问题进行思考与论证，如对概念内涵和细节的辨析，可以针对知识点设置具体的问题情境，通过设计问题的解决模式让学生去更深层次地理解和把握知识点，再通过变条件、变设问手段去改变题目的设问方式和基本量，提高学生的解题能力.

4.情境化变式

教师可将基础知识或公式、定理通过问题情境展示出来，让学生认真阅读资料，自己提炼信息，将情境构建成数学模型，转译为数学形式的推理过程或数学运算的形式，让学生用自己所学的知识与方法经验去分析解决问题.

5.探究性变式

探究性变式相对于前面提到的四种变式较难一些，需要学生对基础知识与基本技能有很好地掌握，还要对前面提到的四种变式方法对应的变式问题能很好地解决，这样教师才能将教学往更深一层次推进，培养学生的抽象思维.这种变式能促使学生把学习的基础知识和思路方法灵活运用到一些开放性的题目里，从而达到优化学生思维、提升解题能力的目的.

（二）学生合作探究深化变式训练

为了促进学生灵活掌握知识和解题思路，教师可以定期在课堂上进行题组训练、分小组合作学习，或者创设结果展示与汇报的平台.开展小组合作学习可以培养学生合作学习的意识，多个人就可能多个思路，这种形式可以加快问题解决的速度，并提高学生的学习效率.教师先布置任务，要求各小组寻找相同类型的题目，并进行分类归纳.在寻题分类的过程中，学生会主动分析题目的考点和命题意图，这样不仅让学生通过小组合作将变式题组设计出来，还可以借助小组的力量完成涉及多个知识点的变式题组合和归类.之后，教师可让小组之间进行比赛，限时去解答这些变式题组，最后进行小组交流展示.在这个学习过程中，学生逐渐学会了如何灵活运用解题方法和建立解题思路，提高了教师的教学效果.

二、变式训练模式在数学函数解题教学中的应用

对于变式训练教学模式的应用，教师可以先从高中数学函数解题教学开始，将变式训练应用其中，以引导学生产生创新的解题思维.学生可以围绕相关的函数知识点对变式问题展开学习探讨，从而对函数基础知识的应用与分析进行调整，进而锻炼解题思维能力，从中积累有用的数学函数解题方法与经验，为今后的高中数学函数题解答打好基础、积累经验.

如下面这道高中数学函数题：

函数（x）=log12（x-1）的定义域是（）.

A.（1，+∞） B.（2，+∞）

C.（-∞，2）D.（1，2]

解题分析：对于这种比较基础的函数题目，学生可以从其函数定义域的角度分析问题的答案.如要想让整个函数式子有意义，既要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0.

解题过程：由题意，得x-1>0，

log12（x-1）≥0，解得1<x≤2.

解题反思：从解答的过程来看，学生只要懂得定义域的含义，并且结合函数式子内容构建数学知识点的联系，就能顺利解出问题的答案.这个过程既锻炼了学生的函数定义域解答思维，也促使学生在解答过程中更为深入地了解函数定义域的解答方法，有效提升了学生对函数基础知识的运用能力.

针对上述函数基础例题，为了加深学生对高中函数知识的理解与运用，教师可以对该道题目展开变式：

函数y=log12（x2-3x+2）的单调递减区间是什么？

解题分析：虽然这道题目看似与上一题目没有太多的联系，只能看出它是一道高中数学函数单调区间问题，但从分析中我们可以发现，它其实是上述函数问题的变式，它们都需要求出函数的定义域，都考查了学生对函数定义域的理解和认知.不同的是变式题目中多了一个“复合函数同增异减”的内容，因而在解答过程中，学生应先分析y=log12（x2-3x+2）的定义域，再根据复合函数同增异减原则，求出函数的单调区间.

解题过程：y=log12（x2-3x+2）的定义域为（-0，1）∪（2，+∞），令t（x）=x2-3x+2，函数t（x）在（-∞，1）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，因而继续由复合函数同增异减原则，得到函数y=log12（x2-3x+2）在（2，+∞）上单调递减.

上述两道数学题目都与函数定义域知识有关，而从解答过程看，变式后的数学函数题目涉及的数学函数定义域知识更深入，更考验学生对函数定义域的解答能力，以及对一些函数知识的理解与运用，对学生变式训练思维也能起到很好的激发作用.

三、變式训练模式在几何问题中的应用

几何也是数学高考的一个重要知识点，且对应题目具有一定的解题难度，对学生的解题思维能力提出了更高的要求.因此，将变式训练模式应用于高中数学几何问题解答之中，也是培养学生数学解题思维能力的一个有效途径.因此，教师仍需要结合基础的高中数学几何问题，不断对其展开变式，以更为灵活的变式题目培养学生的数学解题思维能力，使其能够从变式问题解答中积累有用的数学解题经验，并从解题过程中体会数学几何问题的多元化.

如下面这道高中数学几何问题：

已知几何体的三视图（如图1），用斜二测画法画出它的直观图.

解题分析：这道题考查了学生对几何基础知识的掌握能力，根据题目中给出的正视图、侧视图及俯视图可以直接画出相关的几何体.

解题过程：如图2所示.

在分析这道简单的立体几何问题时，学生有了一定的学习与探究信心.教师可以抓住学生此时的兴趣点，以这道问题为基础进行更为深入的变式，如加入一些简单的几何体表面积及体积的计算题，由此提升变式问题的解答难度.如下变式训练题：

已知几何体的三视图（如图3），请求出这个几何体的表面积和体积.

解题分析：由这个几何体的三视图，学生可以得出立体图形，再根据几何体表面积和体积的计算方法解答出问题的答案.此几何体可以看成由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体，由PA1=PD1=2，A1D1=AD=2，可得PA1⊥PD1，由此可以求出几何体的全面积，进而求出其体积.

解题过程：S=5×22+2×2×2+2×12×（2）2=（22+42）cm2.

V=23+12×（2）2×2=10（cm3）.

上述几何问题的变式训练能够促使学生更为深入地了解几何问题能够怎样变式，从而有效帮助学生积累数学几何问题解题经验，对提升学生的数学解题思维能力有积极的作用.

四、变式训练模式在高中数学集合问题中的应用

高中数学集合问题是高中阶段常见的数学问题，但从以往学生的解题情况来看，很多学生拿到题目就立即做题，并没有认真看清题意，同时缺乏良好的解题思路，导致解题效率低、错误率高.对此，教师同样可以结合变式训练模式，引导学生展开更为多元化的集合知识问题解答，促使学生积累更多的集合解题经验，从而提升学生的集合问题解题能力.

从下面这道集合问题出发：

已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|x2-4x+r=0}，且A∩B={1}，A∪B={2，1，3}，求实数p，q，r的值.

解题分析：在这道题中，学生需要掌握基本的集合概念、并集和交集等知识点，才能快速地解答该道数学问题.

解题过程：

∵A∩B={1}，∴1∈B，∴12+4×1+r=0，∴r=3.

∴B={x|x2-4x+3=0}={1，3}.

∵A∪B={2，1，3}，

∴2∈A.

又∵A∩B={1}，∴1∈A，

∴方程x2+px+q=0的两根为2和1.

∴p=-（2+1）=-3，q=2×1=2.

根据上述这道基础的集合问题，教师可以引导学生展开变式训练，变式如下：