概率统计模型在经济领域的常见应用

2022-07-20于雪梅田小强

数学学习与研究 2022年10期

于雪梅田小强

【摘要】概率统计作为一种精确系统的科学语言，经常用来研究解决经济学领域的实际应用问题.概率论与数理统计作为数学工具能将实际应用问题与数学模型建立起联系，将实际应用问题数学化，通过模型求解，并借助概率统计中的理论知识和信息化手段加以分析、计算，最后回归到实际中，加以应用，对经济发展和社会的进步起到了促进作用.本文主要介绍概率统计模型在经济领域中几种常见的应用.

【关键词】概率统计;数学模型;金融经济

【基金项目】本文系北京电子科技职业学院校内课题项目“概率统计在金融经济问题中的应用”（项目编号：2021Z044-KXY）的研究成果.

概率论与数理统计作为一门工具学科，已经是目前各领域比较成熟的可适用的数学工具.应用概率统计知识建立数学模型解决金融经济领域中的实际问题就是非常常见的一种方法手段.它研究的范围是广阔的，既具有深度，又具有广度.本文主要通过简单的实例介绍概率论与数理统计在管理决策、投资决策、保险预测、经济预测四个方面的常见应用.

一、概率统计模型在管理决策中的应用

作为管理决策者，对经济金融问题的處理要科学合理，就要有整合数据的能力，确保在分析具体问题时做出科学合理的决策.要保证决策工作的管理效果，就要在做出决策之前考虑其本身存在很多不确定的随机因素，然后通过建立数据处理和进行运维监督，健全正确且科学化的决策体系，实现最小成本管理工作，运用数学期望、方差等数字特征提高管理工作的效率，维护最优目标.在统筹规划销售成本、收入、资产周转率以及税金等项目时，主成分分析法也具有一定的作用.假设有n个样本，m作为样本体系的指标变量，在寻找k个变量后，就能得出yi=ai1x1+ai2x2+…+aimxm，i=1，2，…，k，进而可以利用数学期望和方差对管理中的相关决策进行集中分析.

例如，研发出一种新电子产品后，公司的市场营销部门要进行分析，得出该款新电子产品在当地进行推广销售的价格较低，而且可以获得较为稳定的40万元利润.如果公司去外地开展推广销售工作，推销成功可获利 100 万元，但推销失败将面临损失10万元，存在一定的风险.推销成功的概率P（S）=0.6，从收益期望值的角度来分析，外地投资推广销售的期望收益为56 万元.但仍要理性分析存在的风险因素，设A表示“对外推销有利”，B表示“对外推销不利”，S表示“推广销售成功”，F表示“推广销售失败”.市场部通过调查发现，在推广成功的条件下，P（A|S）=0.7，P（B|S）=0.3，在推广销售失败的条件下，P（A|F）=0.2，P（B|F）=0.8，运用贝叶斯公式可以得到：

P（S|A）=0.84，P（F|A）=0.16，

P（S|B）=0.36，P（F|B）=0.64，

因此，若调查结果显示该电子产品到外地推销是有利的，那么到外地进行推广销售的收益期望值为

E（X）=100×0.84+（-10）×0.16=82.4.

若调查结果显示该电子产品到外地推销是不利的，这时收益期望值为

E（Y）=100×0.36+（-10）×0.64=29.6.

在这种情况下，管理者应该做出在外地开展推销的决策.

二、概率统计模型在投资决策中的应用

不管是什么层级的经营管理者，都在投资过程中追求利益最大化.投资决策是指以达到特定目标为目的，以搜集的数据和统计结果为前提，根据经验和规律对不同的投资方案进行科学合理的可行性分析，通过对比研究，最终做出合理的决断，选择满意的实施方案.但在投资决策过程中离不开风险的评估和考量，即在投资收益的预判中要衡量风险的存在与影响.

例如，某公司现对三个投资项目进行考察，分别是：住宅楼A、大型商场B和商业步行街C，其收益多少与市场现状有关，将未来市场划分为优等、中等、差等三个级别，发生的可能性分别为p1=30%，p2=50%，p3=20%，根据市场调查，不同等级状态下三种投资的年收益见表1.

下面以数学期望、方差等计算方式为例说明决策的合理性.

E（A）=10×0.3+3×0.5+（-2）×0.2=4.1，

E（B）=6×0.3+3×0.5+（-1）×0.2=3.1，

E（C）=9×0.3+2×0.5+（-3）×0.2=3.1.

通过计算，投资住宅楼的平均收益最大，但要继续考虑投资风险，再从方差进行考虑：

D（A）=（10-4.1）2×0.3+（3-4.1）2×0.5+（-2-4.1）2×0.2=18.49，D（B）=（6-3.1）2×0.3+（3-3.1）2×0.5+（-1-3.1）2×0.2=5.89，D（C）=（9-3.1）2×0.3+（2-3.1）2×0.5+（-3-3.1）2×0.2=18.49.

因此，从方差的角度判断，投资大型商场的风险明显比投资住宅楼和商业步行街的小，从平均收益和风险性考虑，做出选择大型商场进行投资这一决策较好.

一个项目的投资管理者要从多角度综合分析预测投资项目的不同影响因素，需要考虑金融、经济、政策等因素，再选择项目的合作方、投资金额及最佳投资时机等.目前，在决策过程中，隐性风险和显性风险同时存在，决策者需要意识到，各种不确定性因素的干扰和影响不是毫不相关的.

接下来我们再看一个贝叶斯决策案例：A公司提供的产品和服务垄断市场，而B公司考虑进入这个市场，并且清楚A公司不会坐视不理，会采取阻挠措施，B公司能否成功进入市场受A公司投入到阻挠过程中的成本规模的影响.初期B公司无法判断A公司投入的阻挠成本是高还是低.如果A公司投入高阻挠成本，在B公司进入市场时不惜一切代价进行阻挠的概率是0.2;如果投入低阻挠成本，则A公司在B公司进入市场时会百分百进行阻挠.最初B公司认为A公司做出高成本阻挠的可能性为70%，也就是我们所说的先验概率，那么B公司估计自己在进入市场时受到阻挠的概率为

0.7×0.2+0.3×1=0.44，

而B公司进入市场时，A公司确实进行阻挠，贝叶斯公式计算出B公司进入市场后A属于高阻挠成本公司的概率为

P1=0.7×0.20.7×0.2+0.3×1≈0.32，

根据此后验概率，B公司预估再进入市场时受到A公司阻挠的概率为

0.32×0.2+0.68×1=0.744，

B公司再次进入市场时，A公司又进行了阻挠，贝叶斯公式计算出A属于高阻挠成本公司的概率为

P2=0.32×0.20.32×0.2+0.68×1≈0.086.

根据A公司一次次的阻挠，B公司对A公司的判断逐步发生变化，倾向于将A公司判断为低阻挠成本类型.

投资决策中也有很多投资组合问题，比如10万元本金投资到两种股票及固定收益中，每种股票每股年收益率是两个相互独立的随机变量A与B，已知E（A）=6，D（A）=55，E（B）=4，D（B）=28.股票一每股价格60元，股票二每股价格48元，固定收益年收益率3.6%，要决策平均收益不低于7000元的最优投資组合方案，设三者投资量分别为x1，x2，x3，则60x1+48x2+x3=100000.投资组合收益R=x1A+x2B+0.036x3，投资组合的平均收益和风险为

E（R）=E（x1A+x2B+0.036x3）

=6x1+4x2+0.036x3，

D（R）=D（x1A+x2B+0.036x3）

=D（x1A）+D（x2B）+D（0.036x3）

=x21D（A）+x22D（B）+0

=55x21+28x22.

建立模型min（55x21+28x22），使得

E（R）≥7000，60x1+48x2+x3=100000.

利用软件可求最优投资方案：x1=524.7，x2=609.7，x3=38250，这时D（R）=2.25×107.

三、概率统计模型在保险预测中的应用

近几年，保险业不断发展和进步，而保险业是根据概率论原理进行计算预测，对所搜集到的相关数据进行统筹科学的处理分析，继而有针对性地为不同年龄范围、性别、工作种类的人群开发多样不同种类的保险产品，依据概率合理分摊风险，使损失最小化.随着人们个性化需求的增多，购买者也会通过计算这些保险产品的收益做出全面考量，同时，保险公司会应用中心极值定理、大数定律、线性回归等概率统计知识进行精算预测，从而确定每一种保险产品的理赔金额和保险金额，计算每个保险产品的利润及亏本的可能性.

以某个人寿保险为例：某保险公司设计了一种人寿保险，经统计，一年内有2万份有效投保保单，据统计数据显示，保险者中每个人身故的概率是0.0002，试计算出这些成功投保人中死亡数不超过 12 人的概率.

设参加该种人寿保险的保险者在一年内死亡人数为ξ，随机变量ξ服从二项分布，

P（ξ≤12）=∑12k=0Ck20000×0.0002k×0.9998（20000-k），

可以利用泊松分布进行查表计算，得出该品种人寿保险中死亡人数超过 12 人的概率是310000.

某保险公司拟推出在校学生意外伤害险，现有6000名新生欲参加保险，每个参保人交付50元保费，若出险可获得2万元赔付.已知年出险率为0.15%，判断保险公司因开展此项保险业务获利至少6万元的概率.

设参加该保险的出险人数为X，X～B（6000，0.0015），

P（X≤12）=1-P（X≥13）=1-∑∞k=139kk！e-9=0.876.

为什么保险公司愿意出售这种低价保险？我们假设年出险率由0.15%上升到0.2%，此时该公司获利不少于6万元的概率降为0.576.其他条件都不变的情况下，出险率仅仅提高0.05%，小幅上升，保险公司相同收益的可能性就大幅下降，可以清晰预测盈利概率是出险率的减函数，如图1.

保单在设计初期需要考虑参保人数、赔付金额、保费、盈利利率、盈利金额及出险率，可以多重分析，也可以固定一些因素判断两个变量间的相关性.

在保险预测中，保险投资者也可以根据自己的实际情况，结合概率统计知识做出决策.比如：某投资者有25万元资金，打算花20万元买一辆车，假设一年内发生车祸毁掉且残值为0 的概率为0.1%，有99.9%的概率仍保值20万元.为减少损失，他可以为新车选择投保买全额保险，将剩余的钱存入银行，存款利率为6%，如他的效用函数为U（ω）=ln ω，则他花多少钱买保险时可使得年末买保险和不买保险的期望效用值相当？

当投资者支付m元购买保险时，则年末投资者的资产为：

200000+（250000-200000-m）（1+0.06）=25300-1.06m.

此时年末的期望效用为ln（25300-1.06m）.

当投资者不买保险时，年末期望效应为：

99.9%×ln（250000×1.06）+0.1%×ln（50000×1.06）=12.4859.

要使得年末买保险和不买保险的期望效用值相当，则有m=395.66，投资者拿出395.66元钱买保险时可使得年末买保险和不买保险的期望效用值相当.

四、概率统计模型在经济预测中的应用

经济预测是指依据现有的数据和资料对未来经济现象的不同自然状况进行估计推测，对给出不同情况发生的概率利用科学方法进行预测分析.在定价模型中可运用多种概率统计计算方法，如顺序统计量、概率分布函数等.比如根据一些商品的销售数据、资产和证券的历史价格数据，就可以利用概率统计知识及数据处理软件推算出能够发生的合理的价格区间，从而提供依据使得经济预测工作能在价格区间内进行完善.

数据回归分析是统计学中用来研究变量之间相关关系的一种方法，运用统计数据对某些变量之间存在的相关性进行判断分析，可得出规律，生成模型.

多元线性回归模型的一般形式为：

Y=b1x1+b2x2+…+bmxm+ε，ε～N（0，σ2）.

通过统计数据，建立回归模型，可以进行预测，提高判断的准确性.

一元线性回归方程是利用最小二乘法对变量间关系建立函数模型的一种回归分析方法.我们以某商品包装费投入和销售额的关系为例说明线性回归方程在经济预测中的应用.

某公司为了研究产品广告费投入对销售额的影响，随机抽取了上一年度中8个月该产品的广告费投入金额与销售额.

根据数据绘制散点图，样本点的分布在一条直线附近，表明销售额y与广告费x具有线性相关关系，可建立模型，计算参数的估计值，建立销售额y与广告费x之间的回归方程.假设相关关系为y=a+bx+ε，其中b是回归系数，ε是随机因素引起的误差，用最小二乘法估计模型中的未知参数a，b，求出估计值a^=18.975，b^=0.531，所以线性回归直线方程为

y^=0.531x+18.975.

在经济预测中，簡单的期望平均法也是常用的有效手段.比如某服装经营公司预推销一款商务男装，想对销售量进行初步预测，减少成本.销售部门选定三位销售经验丰富的三名销售员参加试销，并根据以往经验做出预测，详细数据见下表.

销售员甲预测的总销售量

E1=160×0.3+140×0.5+120×0.2=142;

销售员乙预测的总销售量

E2=150×0.2+128×0.6+110×0.2=128.8;

销售员丙预测的总销售量

E3=170×0.1+140×0.7+120×0.2=139.

根据简单平均法确定最终的预测销售量为136.6 万件.

五、小结

在经济领域，通过运用数学知识构建数学建模解决实际应用问题的实例还有很多.科学的决策是非常重要的，也是必不可少的，我们可以运用数学思想把在经济领域遇到的问题转化成数学方面的问题，运用数学的方法解决问题，这不仅能够促进经济的进步，同时可以促进我国科学技术的创新.

【参考文献】