蔡少毅 郑雪静

1 问题提出

不少学者致力于对数学竞赛题的推广与研究得到了丰硕的成果，参见文[1-6].以下从2011年世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛五年级的一道试题为例展开讨论：在1-100的100个数中取出两个不同数相加，使其和是3的倍数，问有多少种不同取法？

解在1，2，3，…，100这100个数中，模3的余数为0，1，2的依次有33，34，33个.

①在余数为0的33个数中任意取2个，两数

②在余数为1的34个数中任意1个，在余数为2的33个数中任意1个，两数相加是3的倍数的有34x33 =1122种取法.

从而，从100个数任意取2个，两数相加是3的倍数的共有528+1122 =1650种取法.1650.由此，猜想该问题的答案是否是在所有数中取出不同的两数的组合数的三分之一.但我们很快发现：在1，2，3，…，50这50个数中取出不同的两数，要使取出的两数相加的结果是3的倍数有409种取法.而这50个数中取出不同的两数的组合数为1225，其三分之一显然不是409.可见问题的答案未必是所有数中取出不同的两数的组合数的三分之一.因此我们对该问题作进一步的探究，得到以下结论：

（1）当1，2，3，，，.，n时的结果

证明 只需求从余数为O的数中任取2个数相加，或者从余数为1的数中任取1个数，再从余数为2的数中任取1个数相加的所有取法，即为所求.

参考文献

[1]蒋红珠，刘成龙，贺锌波，一道数学竞赛题的变式及推广[J].福建中学数学，2020 （05）：47-49

[2]邱际春，朱华伟，两道数学竞赛题的分析与推广[J].中等数学，2020 （08）：12-15

[3]韦华全，谢体良，数学竞赛题的推广与研究（Ⅲ）[J].广西师范学院学报（自然科学版），2010，27 （2）：117-118

[4]劉海燕，组合数学在奥数中的应用[J].牡丹江教育学院学报，2008，111 （5）：119-120

[5]刘会玲，刘东旭，南华，组合数学与中学数学的关联[]，教育教学论坛，2015，19 （5）：256-257

[6]丁柯丹，胡奕伟，中学数学竞赛中的初等数论问题——以希望杯初中数学竞赛试题为例[J].丽水学院学报，2012，34 （2）：84-87