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挖掘圆的几何性质 简求相关最值问题

2022-07-18吴春山

福建中学数学 2022年6期
关键词:共圆表达式圆心

吴春山

圆是最为理想化的平面几何图形,很多与圆有关的问题可以抓住圆的几何特征,充分利用圆的性质协助解决,能够起到简化、优化解题的效果,本文中介绍的与圆有关的最值问题就比较突出,下面通过列举典型题例并进行分析,旨在探索解题途径,归纳解题方法,仅供读者朋友们参考.

1抓住四点共圆

评注通过分析已知条件可以知道,所给的两条直线互相垂直,这是找到四点共圆的关键,从而有了四点共圆的基础,下面就是比较熟悉的圆上的点的最值问题了.

2 抓住点与圆的位置关系

评注 圆上的点与圆外一定点连线的最小(最大)距离问题,转化为圆外的點与圆心连线的距离与圆半径的关系,抓住这一点就抓住了问题核心.

3利用直线与圆的位置关系

评注 求解内切圆问题,抓住直角三角形中内切圆的特性建立圆的方程是一个重要的解题环节,解题时要善于运用几何分析简化求解过程,

评注 圆是一个既中心对称也轴对称图形,所以关于圆的问题利用其对称性质的地方很多,抓住这个特点能起到启发思维、优化解题的效果.

评注 在直线与圆相交的问题中,根据垂径定理推出弦长的表达式是非常重要解题手段,本题通过设圆心O到直线,的距离为d,用d表示AABO的面积S,为解决三角形面积最大值创造了机会.

评注 此解法是充分挖掘和利用了圆的切线长的性质,将数量积PA.PB转化为关于PO的表达式,为后面运用基本不等式解题清除了障碍.

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