周翔

概率部分内容是近年高考考查的热点，对学生逻辑思维能力、归纳能力和演绎能力，以及应用与创新意识均有较高要求，本文聚焦用“事件等可能性”解决一类比赛中的概率问题，助力提升学生对此类问题本质的深度理解.

引例1七位选手依次进行跳水比赛，出场顺序随机确定，求选手甲在乙后边出场的概率.

分析由于该问题中甲在乙的前边或后边是随机等可能的，这一点不受其他选手的具体出场顺序影响，故聚焦甲乙兩人之间的两种出场排列顺序，即可得甲在乙后边出场的概率为去.

引例2甲，乙，丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏，需要淘汰两人，一人胜出.现三人同时随机出拳，求游戏只进行一回合就结束的概率，

分析设定甲已随机出拳，此时聚焦乙、丙出拳所包含的基本事件数总共有9个，其中任何一人胜出都分别有1种可能，故“一人胜出”所包含的基本事件数共有3个，所以由游戏只进行一回合就结束的概率为3/9=1/3.

通过以上两个引例不难发现，运用等可能性解决比赛中的概率问题的方法往往具有新颖性和独创性，能有效提升学生的思辨能力，增强对概率意义的理解.其一般步骤是：（1）粗读，理解比赛规则，建立恰当的概率模型及研究视角;（2）细读，把握研究对象的概率特征，依托随机等可能性，确立正确表述;（3）计算，运用恰当的概率公式，求得结果.显然第2步非常关键，需要剔除不必要的干扰信息，挖掘题目信息中的等可能性，迅速达成解题目标.下面结合几个典型案例进行具体阐释.

（2020年高考全国I卷·理19题（3》甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率均为1/2，求丙最终获胜的概率.

分析对事件空间的不同理解产生不同的解法思路.本题的一般思路是，逐一列举出所有可能的结果，结合独立事件的概率计算公式求出最终丙赢的概率.这一过程耗时较多，难免疏漏，此处不再赘述.事实上，第一场比赛后，胜者和丙的“境况”相同，自然产生如下解法思路：

评析上述解答以第一场比赛结束后，能负场次相同作为等可能判断依据，结合对立转化，体现了对概率公式和事件本质的深层次理解.

例2甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如框图所示（图1），其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为3/4，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同，求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.

分析本题有较强的程序性，历经多场比赛，胜负关系更为复杂，考虑到乙、丙、丁每局获胜概率相同，仍可参照例1的解题方式，聚焦关键场次比赛双方获胜可能性异同进行必要分类（“有甲参

评析上述解答以每场比赛的参赛双方的胜率是否相等作为讨论依据，聚焦关键场次的赛果，优化了思维，简化了讨论.

例3某校组织有奖游园活动，高三（1）班共6人，计划同时参加活动，该游园活动共有甲，乙，丙三个场地，6人各自随机地确定参加顺序，在每个场地猜谜一小时后去其他场地，所有场地活动结束后一起返回，设事件A为：在参加活动的第一个小时时间内，甲，乙，丙三个场地恰好分别有该班的2个人.设在参加活动的第三个小时时间内，该班级在甲场地的人数为ξ，则在事件A发生的前提下，求ξ的概率分布列及数学期望.

分析本题若按部就班从第二小时开始，研究到第三小时结束，过程较为复杂.如果参照“n张奖券中有一张为中奖奖券，若n个人逐一不放回地抽取，则每个人中奖概率一致”的基本原理，直接聚焦第三个小时的情形，将原问题化为熟悉的二项分布解决.

解由于除了第一个小时已经参加完甲场地的两个人外，其余4人随机地在第二、三个小时中选择参加甲场地的活动，显然具有等可能性，可视为4次独立重复试验.在事件A发生的前提下，即第一小时已经有2人参加甲场地活动，该班级第三小

评析上述解答以“第一轮未参加甲场地活动者，进入第二、三轮机会均等”作为等可能判断依据，直接建构独立重复试验的概率模型，规避第二小时情况的复杂讨论.

“各轮次随机抽取等可能”的解题思想广泛应用于“设备检测”、“病毒检验”等事实际问题.下面再举一例说明.

例4一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了n（n≥6）份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中n-3份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止;若检测结果呈阳性，则对这n-3份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.若n>8，采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ，求ξ的概率分布.

评析上述解答巧借随机抽样公平性原则确立等可能性，将研究重心放在倒数第三次及之前的检验，契合已知样本构成特征下的概率求解模式.

结语新课标对于概率学习所提出的要求是：“能够辨明随机现象，并运用恰当的数学语言进行表述;能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象;能够合理地运用数学语言和思维进行表达与交流.”[1]这一要求更加关注学生在解决问题过程中的“思维状态”.教无定法，贵在得法，概率问题的教学要根据学生认知规律，引导学生以概率核心概念内容为基，通过对比赛中的随机试验过程的抽象，充分利用等可能性工具，形成“一般性观念”，构建更加符合数学逻辑和学生心理逻辑的解题思维模式.“自然而然，水到渠成”，促使“深度学习”真实发生，

参考文献

[1]史宁中，王尚志，普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]，北京：高等教育出版社