石先兵

笔者开授了一节市级公开课——《一次函数复习课》受到好评.笔者将这节课的教学设想、教学过程及教学思考整理如下.

1 教学设想

（1）激发学生对所学知识形成全局理解

笔者认为，复习课除了对所学知识进行有针对性地查漏补缺外，还要协助学生梳理所学知识的脉络，构建多维的知识结构体系，引导学生“发展”地再认识所学知识.进一步内化数学思想方法，真正提高解决数学问题能力，提高课堂复习效率，提升数学素养.本节课根据学生己学过的平面几何与代数中相关知识的关联为主线，教学过程中紧紧抓住点和坐标（有序实数对）一一对应的关系，让学生体悟点是平面几何的基本元素，在平面直角坐标系中点对应的代数形式就是研究横纵坐标之间的关系，让学生和知识一起生长、发展，在复习的过程中感受平面几何和代数的本质，体悟数形结合的美妙.

（2）教师要用逻辑思维讲述故事

本章是学生学习函数的第一阶段，也是用解析法研究平面图形性质的重要阶段.引导学生从“运动变化和联系对应”的角度认识函数，重视函数这一重要概念中蕴含的数学思想，从而有意识地体会函数的本质成为设计时考虑的重点.教学设计时从数学角度描述或刻画直线，引入笛卡尔等数学家用解析法研究平面图形的典故，为学生用解析法研究平面图形播下了一粒种子.由直线得到一次函数解析式后，通过列表利用表格中横纵坐标（或自变量的值与函数值）的对应关系让学生体验一次函数中自变量的值和函数值是“一一对应，均匀变化”的，再通过探究推理对一般的一次函数也有了变化和对应的初步认识和体会.在一条直线的基础上添加另一条直线，从而研究两条直线平行和相交的情况下产生的问题，探究并体会研究平移和对称的关键——研究点.两条直线相交产生的面积问题同样由点确定，总结归纳割补法需要填加的辅助线的知识源头：点坐标的得来——过点做x轴或y轴的垂线.当触及到解决问题的本质，也就是到了故事的高潮，使学生有恍然大悟，一览众山小的体验.

2 教学过程

活动1课前两分钟阅读材料“笛卡尔简介及坐标几何（解析几何）”.

设计意图让学生对笛卡尔及解析几何有个初步的认识，也为课题的引入做好铺垫，

问题1平面内的一条直线，如何从数学的角度来描述或刻画它？

设计意图刻意制造矛盾，激起学生对所学知识的回忆，并感受引入平面直角坐标系的必要，也是从“形”到“数”来研究直线的开端.

问题2平面直角坐标系中已知两个点的坐标求出一次函数解析式的方法是待定系数法，为什么可以用待定系数法？

设计意图唤起学生对所学方法的深层思考，把方法和概念构建联系，同时让学生体会数学名词的合理性、自然性.

设计意图 以具体函数为载体，以表格的形式让学生体会一次函数“x”与“y”的值是一一对应的：己知“x”的值，由解析式可以得到唯一的“y”的值;同样己知“y”的值可以解出唯一的“x”的值.通过具体数值的变化规律和数学推理让学生感受一次函数y= 2x+1中自变量的變化值和其对应函数值的变化值是成正比例的（比值是2），从而体会一次函数y= 2x+l是均匀变化的，达到“以数释形”的目的.

问题3对于一次函数y= kx+ b（k≠0），自变量的变化和对应函数值的变化是不是也呈现类似的规律呢？

设计意图由特殊到一般，让学生从“运动变化和联系对应”的角度认识和真实感受一次函数.

活动3已知一次函数y= 2x+1，如何画出函数图象？结合图象说说函数图象的性质.对于一次函数y= kx+ b（k≠0），利用表格对k和b进行分类并画出对应的一次函数图象，说说共性质.

设计意图从“数”到“形”再次认识一次函数，并从特殊到一般熟悉函数图象和性质.

并在活动3的基础上追问：若知道一次函数图象的位置，能否知道k和b应满足的条件.引导学生并强调动手画出图象，结合图象解决问题，将数形结合的思想变为实践，领悟函数图象的作用.

设计意图通过一组从易到难的变式问题，使学生进一步熟悉运用函数图象的性质解决问题.教师结合PPT演示如何利用函数图象由自变量的大小关系找到对应函数值的大小关系，使学生不断体会函数图象的作用和数形结合的方法.

设计意图使学生学过的二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式产生关联，构建多维的知识结构体系，同时结合PPT更直观地“以形表数”.

问题5借用一次函数y= 2x+1的图象，你还能解决什么问题？

设计意图设计开放的问题，让学生发挥想象力，让图形和知识产生关联.学生会想到求出图象与坐标轴的交点，可以求出图象与坐标轴围成的面积，由勾股定理求出直角三角形斜边长，由面积法求出斜边上的高（也是原点到直线上点距离的最小值）等等.对一个图形尽可能展开联想，让学过的知识和方法联结起来，形成知识网络，重新构建知识体系.

问题6研究完一条直线，再看两条直线.平面中两条直线有哪些位置关系呢？如平行于l1：y=2x+1的直线l，经过点（-1，1），求，，的解析式.

设计意图让学生进一步明白平面直角坐标系中两个条件可以确定直线方程（一次函数解析式），同时为接下来的问题提供载体.

活动5平行是两条直线的位置关系，也是两条直线静态的描述，从动态的角度来说平行可以是平移，试探究直线l2可以经过怎样的平移变化得到l1？

设计意图学生容易得出直线l2：y= 2x+3可以是由ll：y=2x+1向上平移2个单位得到的，追问学生是怎么得到这个平移变换的，学生会通过两直线和y轴的交点（0，1）与（0，3）这一对对应点的变换得到.追问：从图形上也可以就看出直线l1向左平移亦可得到厶，那么向左平移多少得到l2呢？引导学生可以借助于一组对应点（如两直线和x轴的交点（-0.5，0）与（-1.5，0））来解决问题，由此两条平行的直线可以借助任意一对对应点的变换来研究平移，让学生体会图形的变换本质是点的变换.在此基础上，进一步拓展：除了平移还学习了对称，能不能求出ll：y=2x+l关于x轴（或y轴）对称的直线方程呢？引发学生的思考.

设计意图这是开放性问题，学生从交点Q（l，m）发散开来，得到二元一次方程组与图象交点的关系;得到图象的位置关系对应着函数值的大小关系或不等式;得到一些图形的面积如四边形AOCQ的面积，学生能够用多种方法求解.教师引导学生总结：在平面直角坐标系中点可以确定位置，也可以确定图形，不规则图形的面积采用割补法的关键是利用点的坐标得到其代数表示……让不同的想法在此图基础上百花齐放，更重要的是在解决问题的过程中体现了对数学模型和数学结合思想的领悟和应用.

活动7这节课你有哪些收获？是否对一次函数有了进一步的认识？

设计意图对本节课的知识和方法作一次回顾，使学生对所学知识和方法与一次函数进一步构建联系，重构知识体系，使数学模型和数形结合的思想进一步内化.

3 教学思考及启示

复习课如何“老歌唱出新意”？不是“确认”知识的对错，而是用数学思维演绎数学故事.高效的复习课应该让学生站在视野更高处构建知识体系，应该是让学生在思维更深更广处感受知识和方法的生长、发展，感受自己的发展、提升.因此，復习课教学建议考虑从以下四个方面：

3.1梳理复习主线要明晰

要想高效复习，尽可能让更多的学生从复习课中受益，教师要勇于突破教材，总结归纳相似或相近的知识，在原有的知识结构和体系中再生长，要选好选准一条复习的主线：结合已学过或将要学习的知识、方法，对所复习的知识进行再加工，整合、甚至推进.要分析所复习知识在教材及数学中的地位，提炼所复习知识中蕴含的思想方法，梳理所复习知识的脉络，用数学思维演绎所复习的知识，

本节课从一条直线研究起，到两条平行或相交直线，再到图形面积，这其中一次函数把它们串在了一起，“以数释形”;同时学过的二元一次方程或方程组、一元一次方程、一元一次不等式可以从函数图象的角度看待，“以形表数”.而所有问题的归宿最后落在了点和坐标上.附本节课板书设计如图2：

3.2 构建知识体系要连贯

知识结构体系化才能以点带面，使学生在结构下，网络下，体系下俯瞰知识的形成及发展过程，才能真正形成能力和素养，才能促进学生的生长、发展.教师要打开各章节知识的通道，贯联前前后后的内容，同时聚焦所要复习知识的核心内容，让复习课成为各章节知识的关节.一次函数复习课就是联结二元一次方程或方程组、一元一次方程、一元一次不等式的纽带，同时也是后续学习二次函数和反比函数的重要基石.

3.3内化思想方法要凸显

毫不夸张地说数学教学是数学思维的教学，数学思想方法是具体数学知识的灵魂，数学思想方法对学生的影响往往要大于具体的数学知识.数学思想方法是以数学知识为载体来实现的，而对于隐含在数学知识中数学思想方法的认识是需要一个过程的.需要教师潜移默化、持之以恒的点拨.本节课力求通过对函数解析式与函数图象的结合，引导学生从“运动变化和联系对应”的角度认识函数，让学生体会和逐步感受数学思想方法的重要作用.

3.4 提升思维能力是关键

复习课教学怎样尽可能切实提升学生的思维能力是值得探索的问题.只有学生在教师的引导下构建多维的知识结构体系，重新认识所复习的知识，通过经历知识的再发生并发展，看清数学问题的本质，从而站在一定的高度，切实提高解决问题的能力，进而提升数学思维能力.