高举红，刘 潇，王朋硕

(天津大学 管理与经济学部，天津 300072)

1 文献综述

为了促进销量吸引消费者，越来越多的大型连锁商场、电影院等零售商开始使用会员消费积分制度，即消费者在零售商处进行购买消费可以获得积分，该积分可用于在下次消费时兑换商品或小礼品，这种方式有效地提高消费者的忠诚度并吸引新客户。因此，许多零售商在开展积分计划(loyalty program)时，为了给消费者更加灵活的选择，进一步实施零售商积分联盟来实现积分的互通互兑，构建积分通用计划(point-sharing policy)，也就是多个开展会员积分制的零售商之间进行联盟，各个零售商都可以吸引新的客源，消费者在同一产品中也能选择更多的品牌。这种零售商联手的积分通用计划普遍存在于欧美之间，如澳大利亚和新西兰的Fly Buys积分计划； 英国著名的Nectar积分计划；德国的PayBack积分计划；美国的Golden Points、S&H Green Points和BabyMint积分计划；还有英国的Buys&Flys、新加坡的MoreRewards等[1]。

在积分通用计划作用下，零售商联盟大体存在两种，即同业联盟和异业联盟。异业联盟指的是不同行业之间的商业主体的联合，因为不存在相同种类的产品，联盟内的所有零售商之间都只有合作而不存在竞争。同业联盟是指同行业的商业主体的联合，他们之间既有合作，也存在竞争，例如，航空公司之间进行联盟，使得顾客可以更加灵活地选择转机航班，同时积分也可以用来兑换里程。此外，零售商为了减小管理成本提高效率，通常使用会员积分管理平台对积分进行管理，如万里通的云平台已经汇集了超过50家企业实现积分的联盟与合作，包含超过2亿名会员消费积分用户[2]。会员积分管理平台的利润一般会跟零售商的销售量有关，为了提升零售商销量，平台会实施广告投放，这将给零售商带来销售量的增加，这种现象被称为广告效应(advertising effect)。但是随着时间的推移，广告对消费者的影响会存在着自然衰减的状况，即平台的广告需要与零售商的促销活动相辅相成，否则无法持续刺激消费。因此，本文将对同业联盟下的零售商决策问题进行研究，把竞争型零售商作为研究对象，在考虑广告效应的基础上研究多个零售商和积分管理平台合作的长期利润问题。

为了验证积分计划的有效性，有些学者做了相应研究。比如，Leenheer 等[3]估计积分计划和感知的有效性的多级模型，研究结论表明积分计划的采用与所在具体行业的种类、特点和消费者平均购买的频次有关。Hwang 等[4]以航空公司为例，研究积分计划下两种补偿方式的效用。Moon 等[5]说明会员消费积分计划的普遍，同时提出会员积分联盟的优劣性。Danaher 等[6]表明积分计划的会员在兑换奖励之后会更加有动力在计划中增加购买量，变得更加活跃。综上，虽然积分计划能使得消费者表现得更积极并能促进购买，有效提高零售商的利润，但是大部分研究都是基于零售商各自进行积分的兑换而进行的。

随着积分计划实施的不断深入，积分通用计划被广泛使用，很多学者对积分通用计划下的零售商联盟合作等问题进行研究。Dorotic 等[7]对积分通用计划下的溢出效应进行研究。Cao 等[8]研究联盟忠诚度中的奖励问题。Lim 等[9]认为消费者对于零售商店的产品的偏好具有动态性，通过积分联盟得到的消费者数据能为零售商提供更强的利润激励，增加消费者保留率，并且线上零售市场中积分通用计划成功的可能性大于线下。Danaher 等[10]比较积分的价格和相对应的市场价格，了解会员积分制度的结构并观察这种制度对于消费者的作用，发现会员消费积分可以让会员累积和兑换积分，这些积分可以变成通用的货币在市场上进行使用。Faramarzi等[11]研究认为当消费者感知购买风险比较低时，积分计划的价值更大。可以看出，在积分通用计划的作用下，能提高消费者的购买热情，同时有效提高零售商的利润。

为了提高自身的销量，零售商的促销问题是一个研究的热点。Sigué[12]考虑零售商促销对销售量的长期性影响以及零售商的促销活动对于渠道决策和供应链整体利润的影响。Nouri 等[13]指出一定程度的促销和创新能提高整个供应链的利润。He等[14]通过对零售商促销努力的敏感性分析，研究零售商的促销努力对供应链的总利润的增量变化的影响。Yang 等[15]比较单零售商促销和多零售商促销的优势与劣势。此外，研究零售商的竞争也具有现实意义，近年来学者在不同的背景下研究零售商之间的竞争问题。Tsao 等[16]考虑竞争型零售商促销努力下的两级多零售商分销渠道，讨论零售商竞争如何影响渠道决策和利润。韦才敏等[17]探讨存在多个竞争型零售商和一个制造商时，在价格这一方面进行竞争的问题，最后给出在集中决策下和分散决策下存在不同的市场竞争的模式时，所有的供应链各个成员的博弈后的均衡解。最后，在同业联盟积分共享影响下，零售商既有合作又有竞争，国内外的学者们对具有竞争行为的合作零售商也进行了研究。Huang等[18]构建不同的分散博弈的模型，研究由一个制造商和两个垄断性零售商所组成的供应链中的价格的合作和竞争问题。肖旦等[19]构建一个双层的供应链分销模型，研究三个竞争型零售商的采购联盟的联盟稳定性问题，研究发现，由于单一供应商所提出的线性折扣比例可能会有所不同，因此当供应商提出这种线性折扣合同时，三个横向的竞争型零售商所组成的采购联盟结构也是不同的。由此可见，促销水平通常与销量和利润有关，在积分联盟下研究联盟零售商在竞争与合作中的促销和竞争是有必要的。

在需求不确定的动态市场中，为了使供应链各个成员企业获得长期利润，通常设置一个随时间而变化的状态变量来分析供应链的定价策略。如游达明等[20]把产品商誉和产品的低碳度作为状态变量，并且将除价格之外的多因素对需求变动的影响考虑在内，应用微分博弈研究低碳供应链的定价和促销等问题。王道平等[21]把产品商誉作为一个随时间而变化的状态变量，考虑需求同时受到零售商的促销努力和产品商誉的影响，解决供应链的联合促销决策。鲁馨蔓等[22]考虑产品技术的先进度随时间变化的影响，将产品技术先进度作为一个状态变量，利用微分博弈的方法在动态合作下研究云服务产品的技术创新问题和动态定价问题，将成本分担机制和收入共享契约与微分博弈模型结合起来寻找均衡解。故此，本文考虑到广告效应随时间而衰减的特性，将广告效应作为状态变量研究在积分通用计划下的零售商定价策略。

所以，本文构建一个积分管理平台和两个零售商的合作联盟，假定积分管理平台给零售商带来的广告效应作为一个状态变量随时间递进而衰减，采取微分博弈的方法研究联盟企业的长期利润问题，并应用成本分担机制进行利润协调分析。

2 模型描述

本文考虑由积分管理平台和两个竞争型零售商组成动态合作关系。零售商i确定自身的促销水平fi(t)，两个零售商之间存在促销竞争，两个零售商的积分均由积分管理平台进行管理。积分管理平台从零售商处获得管理费用，该费用与零售商的销量有关。积分管理平台在管理积分的同时进行广告投入，给零售商i带来广告效应Hi(t)。广告效应Hi(t)随时间t而衰减，零售商i的促销水平fi(t)会对广告效应Hi(t)产生影响，见图1。

图1 基于积分管理平台的积分通用计划模型Figure 1 A general planning model of points based on points management platform

2.1 符号说明

本文符号说明如表1所示。

表1 符号说明Table 1 Symbol description

表1中，Di(t)=Ai+Fi+Ci−Ei；Ai表示联盟前零售商i的原有销量；Fi表示加入积分管理平台后零售商i增加的销量；Ci表示零售商i自己促销增加的销量；Ei表示零售商 3−i促销(竞争)导致零售商i减小的销量。

上标中，*表示最优解；Δ表示积分成本分担机制；c表示集中决策。

下标中，i=1表示零售商1；i=2表示零售商2；i=P表示积分管理平台；i=S表 示整个联盟。

2.2 假设条件

假设1积分管理平台的广告投放成本与两个零售商的销量成正比，广告投放成本=ωDi(t)。

假设2积分管理平台带给零售商的广告效应随时间不断减小，是一个不断变化的动态过程。广告效应同时受零售商促销水平的影响，零售商的促销水平越高，广告带来的效应越明显。可以用状态方程来表示广告效应的变化过程，t时刻零售商处的广告效应为

其中，初始广告效应Hi(0)=H0≥0。该假设参考文献[23]关于产品减排量的变化过程。

假设3在无限的时间长度之内，积分管理平台和零售商在任意一个时刻t均具有相同的贴现率ρ。

假设4积分管理平台的边际利润Up、边际广告成本 ω、零售商i的边际利润都是常数。

3 模型分析

3.1 分散决策下考虑积分管理平台的零售商积分联盟

在分散决策下，积分管理平台和两个零售商都以自身的利润最大化为目标，积分管理平台和两个零售商的利润分别表示为式(2)和式(3)。

命题1分散决策下(非合作微分博弈)的均衡解表示如下。

1) 零售商i的最优促销水平为

2) 零售商i处的广告效应最优轨迹为

3) 零售商i的产品销量为

4) 积分管理平台、零售商和整体的最优利润值分别如下。

证明t时刻之后零售商的利润现值最优值函数为

令t时刻之后零售商总利润的当值最优值函数为

令t时刻零售商i最优利润值函数转化为

根据最优控制理论，对于任意的Hi(t)≥0，都满足Hamilton-Jacobi-Bellman (哈密尔顿-雅可比-贝尔曼)方程，即

式(13)是关于促销水平fi的凹函数，求其关于fi(t)的一阶导数并令其等于0，可以得到零售商i的促销水平为

将fi(t)代入式(14)进行整理，可得

再对积分管理平台的最优利润值函数进行分析，存在

其中，a1i、a2i、b1i、b2均为常数，且由式(17)可知

将式(17)、(18)代入式(15)、(16)，对比等式两端可以得到a1i、a2i、b1i、b2满足

求解式(19)，得到

将式(20)代入式(13)，得到分散决策下零售商的最优促销水平为

把式(20)、(21)代入式(19)进行求解，可以得到

把式(21)代入式(1)后，求解微分方程，可以得到在分散决策下零售商i处的广告效应最优轨迹为

进一步得到在分散决策下零售商i处的产品销量为

将式(20)、(22)代入式(12)、(17)，得到分散决策下零售商i处的最大利润值，见式(8)，同理也可以得到积分管理平台以及整体的最大利润值，分别见式(7)和式(9)。

在分散决策下，当零售商i促销对销量的影响系数 γi增大时，零售商i的促销水平的均衡解fi∗(t)增大，这可以解释为促销水平越高，销量越大，零售商为了增加自己的销量会提高促销水平；当零售商i的促销成本系数 ηi增大时，零售商i促销水平的均衡解fi∗(t)减小，这可以解释为零售商的促销水平对促销成本的影响会变得越大，而该影响越大时，零售商为了减小自己的促销成本会降低促销水平；当零售商的促销水平对广告效应的影响系数 τ增大时，零售商的促销水平的均衡解fi∗(t)会增大，这可以解释为促销水平对广告效应的影响增大，零售商为了留住广告效应，会增大促销水平；当广告效应对销量的影响系数 σ增大时，零售商i的促销水平的均衡解fi∗(t)增大，由于广告效应会更多地增加销量，而促销水平会对广告效应产生影响，因此零售商也更加倾向于提高自己的促销水平。

3.2 集中决策下考虑积分管理平台的零售商积分联盟

在集中决策下，零售商和积分管理平台都关注整体最大利润，整体利润的目标函数可以表示为

在集中决策下，可以得到如下命题。

命题2集中决策下(合作微分博弈)的均衡解表示如下。

1) 集中决策下，零售商i的最优促销水平为

2) 集中决策下，零售商i处的广告效应最优轨迹为

3) 集中决策下，零售商i的产品销量为

4) 集中决策下，整体的最优利润值为

证明由式(25)可知，t时刻整体的现值最优利润值函数为

令t时刻之后整体的总利润当值最优利润值函数为

则t时刻整体的现值最优利润值函数转化为

显然，式(33)是关于fic(t)的凹函数。求式(31)关于fic(t)的一阶导数并令其等于0，则由一阶条件可以得到集中决策下零售商的促销水平为

将式(34)代入式(33)，得到

可得约束方程组

求解方程组(38)，得到

将式(39)和式(40)代入式(38)进行求解，可得

将式(38)代入式(1)后，求解微分方程，得到零售商i处的广告效应的最优轨迹Hic∗为

进而得到在集中决策下零售商i处的产品销量为

将式(39)、式(41)、式(42)代入式(36)和式(32)，从而得到集中决策下整体的最优利润值，见式(25)。

在集中决策下，当两个零售商的竞争程度 ε增大时，零售商的促销水平的均衡解fic∗(t)减小，即当两个零售商之间竞争达到一定程度时，不能盲目地通过提高促销水平来提高销量，此时零售商的促销水平会减小；当零售商i促销对销量的影响系数 γi增大时，零售商i的促销水平的均衡解fic∗(t)增大，零售商的促销水平越高销量越大，零售商为了提高销量会提高促销水平；当零售商i的促销成本系数 ηi增大时，零售商i的促销水平的均衡解fic∗(t)减小，即零售商的促销水平对促销成本的影响越大时，零售商为了减小自己的促销成本会降低促销水平；当零售商的促销水平对广告效应的影响系数 τ增大时，零售商的促销水平的均衡解fic∗(t)会增大，也就是促销水平对广告效应的影响增大，零售商为了留住广告效应，会增大促销水平；当广告效应对销量的影响系数 σ增大时，零售商i的促销水平的均衡解fic∗(t)增大，此时广告效应带来更大的销量，而促销水平会对广告效应产生影响，因此零售商也更加倾向于提高自己的促销水平。

3.3 利润协调机制研究

本节旨在通过引入促销成本分担机制实现整体的协调。在促销成本分担机制下，积分管理平台愿意为零售商分担一定的促销成本。将积分管理平台为零售商i分 担的促销成本分担比例记为 ϕi，其中，0≤ϕi≤1。

在促销成本分担机制下，积分管理平台和零售商的利润值分别为

命题3引入促销成本分担机制各个均衡解表示如下。

1) 积分管理平台为零售商i承担的最优促销成本分担比例以及零售商i的最优促销水平分别为

2) 零售商i处广告效应的最优轨迹为

3) 零售商i处的产品销量为

4) 引入促销成本分担机制后积分管理平台、零售商以及整体的最优利润值分别为

其中，

证明利用逆向归纳法，由式(45)可知，引入促销成本分担机制后，t时刻零售商i的最优利润值函数为

则t时刻零售商i的最优利润值函数转化为

由于式(52)是关于fi(t)的凹函数，求式(52)关于fi(t)的一阶导数并令其等于0，可得零售商i的促销水平为

由于引入促销成本分担机制后零售商i的最优促销水平为决策变量，因此当引入促销成本分担机制后零售商i的最优促销水平等于集中决策下零售商i的最优促销水平，即fi△(t)=fic∗(t)时，能得到有效协调。对式(53)进行求解，有

引入促销成本分担机制后t时刻积分管理平台的最优利润值函数为

其中，

考虑到对于任意的Hi(t)≥0，VP(Hi(t))都满足HJB方程，即

其中，系数a1i、a2、b1i、b2均为常数。由式(64)可知

a1i、a2、b1i、b2i满足

对方程组(66)求解，得到

将式(67)代入式(57)、(58)，得到引入促销成本分担机制后的均衡解和fi△∗(t)为

将式(69)代入式(1)并对微分方程进行求解，得到引入促销成本分担机制后零售商i处广告效应的最优轨迹，见式(48)，进而得到零售商i的产品销量见式(49)。将式(67)、(70)、(71)和(48)代入式(55)、(64)，得到引入促销成本分担机制后零售商i、积分管理平台以及整体的最优利润值，分别见式(50)～(52)。

在协调机制下，当两个零售商之间的竞争程度增大时，积分管理平台给零售商i承担的促销成本分担比例的均衡解会减小；当零售商促销对销量的影响系数 γi增大时，积分管理平台给零售商i承担的促销成本分担比例的均衡解会增大；当广告效应对销量的影响系数 σ增大时，积分管理平台给零售商i承担的促销成本分担比例的均衡解会增大；当零售商的促销水平对广告效应的影响系数 τ增大时，积分管理平台给零售商i承担的促销成本分担比例的均衡解会增大。

命题4对集中、分散以及引入促销成本分担机制后的整体均衡决策结果进行比较，可以得到，即引入促销成本分担机制后零售商的最优促销水平、广告效应和产品的销量都得到一定程度的提高。

对引入促销成本分担机制前后零售商i处广告效应的最优轨迹进行比较，有

进而，对引入成本分担机制前后零售商i处的产品销量进行比较，有

命题5引入促销成本分担机制后积分管理平台和零售商的利润都比分散决策下高，且能达到集中决策水平，说明促销成本分担机制能够有效协调分散决策下的利润。

证明由命题1和命题3可知，引入机制前后积分管理平台的利润差为

进而，对引入促销成本分担机制后的整体利润以及集中决策模式下的整体利润进行比较，可知

即引入促销成本分担机制后的整体利润等于集中决策模式下的总利润。综上，该机制能够有效地协调分散决策下的利润。

综上，促销成本分担机制的引入使得两个零售商处的促销水平、广告效应和产品的销量均得到提高，且达到集中决策的水平，说明促销成本分担机制的引入可以达到有效的协调。

4 算例分析

4.1 广告效应的影响因素分析

本节将通过算例分析探讨零售商竞争程度等参数对广告效应最优轨迹的影响。

给定相关的参数值：A1=300，A2=200，γ1=2，γ2=2，H0=100，ρ=0.9，UP=350，ω=50，=80，=50，σ=1.6，ε=1.4，η1=20，η2=20，τ=1.9，ψ=0.1。零售商1和零售商2在使用促销成本共担机制协调后以及分散决策下的广告效应的最优轨迹曲线随时间的变化如图2所示。

图2 在两种情形下广告效应的最优轨迹Figure 2 Optimal trajectories of advertising effect in two cases

由图2可知，广告效应随时间的变化渐渐增加且斜率越来越小，表示该系统的广告效应的过程是可控的；在同一时间下，广告效应在促销成本分担下的广告效应始终高于分散决策下的值。这表明积分联盟下进行促销成本分担可以提高广告效应。

以零售商1为例，分别分析广告效应受两个零售商之间的竞争程度ε、零售商的促销水平对广告效应的影响系数τ、广告效应的衰减系数 ψ的影响，如图3～5所示。

从图3可知，随着零售商的竞争程度 ε的增加，广告效应的最优轨迹在同一时间点的斜率逐渐下降。这表明当两个零售商之间的促销竞争越来越激烈时，广告效应就会越弱，消费者更关注于促销方式而不是广告。

图3 ε对广告效应的最优轨迹的影响Figure 3 The influence of ε on the optimal trajectory of advertising effect

由图4可知，随着零售商的促销水平对广告效应的影响系数 τ的增加，广告效应最优轨迹在同一个时间点的斜率也逐渐增加。这表示零售商的促销水平对广告效应的影响越强，消费者越愿意通过促销购买这个品牌的产品，广告效应也就越强。

图4 τ对广告效应的最优轨迹的影响Figure 4 The influence of τ on the optimal trajectory of advertising effect

从图5可知，随着零售商广告效应的衰减系数ψ增加，广告效应的最优轨迹在同一个时间点的斜率逐渐下降。这表明 ψ衰减得越来越快时，零售商广告效应就会越弱。

图5 ψ对广告效应的最优轨迹的影响Figure 5 The influence of ψ on the optimal trajectory of advertising effect

4.2 利润值变化的影响因素分析

本节将探讨零售商竞争程度等参数对积分管理平台和零售商利润增加值的影响，将使用成本分担机制进行协调后和协调前的分散决策进行比较。给定相关的参数值同4.1。

从图6可知，随着零售商之间的竞争程度的逐渐增大，积分管理平台、零售商1以及零售商2的利润都逐渐减小，同时观察差值发现，相对于没有促销成本分担机制而言，引入促销成本分担机制后积分管理平台、零售商1以及零售商2的利润增加值都呈现了逐渐下降的趋势。两个零售商之间的竞争程度增大，表明两个零售商之间的竞争更加激烈。为了获得更大的市场份额，两个零售商都会更加努力地进行促销，而促销水平的提高会导致两个零售商成本的增加。因此，利润的增加值会逐渐趋向变缓，零售商促销成本的提高，零售商的销量增加，促销成本也增大，使得其在促销成本分担机制下积分管理平台为零售商分担的促销成本逐渐增加，进而导致积分管理平台的利润增加值也降低。而积分管理平台的利润增加值下降幅度和速度都更快，是由于积分管理平台为两个零售商承担促销成本，而零售商1和零售商2仅需自己承担自身的促销成本。零售商可以适当控制两者之间的竞争程度，以使自己的利润增加值达到满意的程度。

图6 零售商之间的竞争程度ε 对利润值变化的影响Figure 6 The influence of competition between retailers on the change of profit value

由图7可知，随着促销成本系数的增加，积分管理平台、零售商1和零售商2的利润值都变小了。也就是每次促销所需要的成本越大，那么显然各方的利润值都会降低。同时可以观察发现，引入促销成本分担机制后积分管理平台和两个零售商的利润增加值均为正数。分别看两个零售商和积分管理平台的利润增加值变化的趋势，可以发现零售商1和零售商2的利润增加值随着促销水平成本系数的增加而减小，这可以解释为促销成本增大，最终使零售商的利润的增加值随之减小；而积分管理平台的利润增加值随着零售商的促销水平成本系数的增大而呈现下降趋势，这可以解释为积分管理平台为两个零售商分担的促销成本增大，其他成本不变，最终导致整个积分管理平台的利润降低。

图7 促销成本系数 ηi对利润值变化的影响Figure 7 The influence of promotion cost coefficient on the change of profit value

零售商的促销水平对销量的影响系数的增加，即每一次积分可以带来更高的销量，利润也更大。由图8可知，随着促销水平对销量的影响系数增大，积分管理平台和两个零售商的利润也逐渐增大。同时可以看到，引入促销成本分担机制后的积分管理平台和两个零售商的利润增加值都呈现了上升的趋势。这是因为销量对促销水平的敏感性越大，那么两个零售商的促销水平的增大就能带来更多销量的增加，积分管理平台通过积分管理成本分担来激励零售商进行促销的效果也就更加明显，进一步来说就是积分管理平台和两个零售商的利润增加值都变得越来越大。同时也可以从图8中看出积分管理平台和两个零售商的利润增加值的幅度也随着促销水平对销量的影响系数的增大而变得越来越大。

图8 促销水平对销量的影响系数γ i 对利润值变化的影响Figure 8 The influence of promotion level on sales volume and coefficient on profit value

从图9可知，随着广告效应对销量的影响程度的增大，积分管理平台和两个零售商的利润都逐渐增大，同时也可以看到，引入促销成本分担机制比分散决策下积分管理平台和两个零售商的利润增加值变化都越来越大。这可以解释为销量如果受广告效应的影响较大，则广告效应的增加就能带来更多的销量和市场，销量增加则积分管理平台能获得更多的利润，进而积分管理平台和两个零售商的利润的增加值最后都会呈现上升的趋势。

图9 广告效应对销量的影响系数 σ对利润值变化的影响Figure 9 The influence coefficient of advertising effect on sales volume and the change of profit value

5 主要结论

本文将对同业联盟下的两个竞争型零售商的决策作为研究对象，在考虑广告效应的基础上研究多个零售商和积分管理平台合作的长期利润问题。

研究发现，首先在同一时间，协调机制下的广告效应始终高于分散决策下的值，这表明促销成本分担机制可以提高广告效应。其次，随着零售商的竞争程度 ε的增加，广告效应就会越弱，消费者更关注于促销方式而不是广告；当两个零售商广告效应衰减得越来越快时，广告效应就会越弱；零售商的促销水平对广告效应的影响越强，消费者越愿意通过促销活动购买这个品牌的产品，产品的广告效应也就越强。最后，促销成本分担后各方的利润大于分散决策下的利润，且能达到集中决策下的水平；随着零售商之间的竞争程度和促销成本系数的逐渐增大，积分管理平台和两个零售商的利润都逐渐减小，同时引入促销成本分担机制后三者的利润增加值都呈现了逐渐下降的趋势；随着促销水平对销量的影响系数和广告效应对销量的影响程度的增大，积分管理平台和两个零售商的利润都逐渐增大，且引入促销成本分担机制比分散决策下积分管理平台和两个零售商的利润增加值变化都越来越大。