石小卉

圆锥曲线的焦点三角形是指以圆锥曲线的焦点为顶点，且其他顶点在圆锥曲线上的三角形.有关圆锥曲线焦点三角形问题在解析几何中比较常见，此类问题具有较强的综合性，且计算量较大.有关圆锥曲线的焦点三角形问题主要有三种：离心率问题、曲线的方程问题、三角形面积问题.下面结合实例来探讨一下这三类问题及其解法.

一、离心率问题

解：如图，过点F作FN⊥AB交AB于点N，

由双曲线定义可得，

二、曲线的方程问题

与圆锥曲线焦点三角形有关的曲线方程问题比较常见，一般要求动点的轨迹方程或者圆锥曲线的方程.解题的大致思路为：①设出圆锥曲线的方程或動点的坐标，②根据圆锥曲线的定义、焦点三角形的性质、三角形面积公式、余弦定理等，得到a、b的值，或与动点有关的式子，即可解题.

在△FPF中，由余弦定理可得

由①②③可得4c=4a+8，∴b=2，

解答本题，需先根据题意设出双曲线的方程，然后根据双曲线焦点三角形的特点、余弦定理、双曲线的定义、三角形的面积公式建立关于a、c的关系式，求得双曲线的方程.

三、三角形的面积问题

解答与圆锥曲线焦点三角形有关的面积问题，往往需根据图形，明确焦点三角形的位置以及边角关系，然后联立过焦点的弦以及圆锥曲线的方程，得到一元二次方程，再利用韦达定理、弦长公式、三角形的面积公式求得三角形的面积或者取值范围.

设直线l：y=kx+m，

化简得（1+4k）x+8kmx+4（m-1）=0，

∴Δ=64km-16（m-1）（1+4k）=0，

∴1+4k=m，

∴△AOB的面积最小值为2.

解答与圆锥曲线焦点三角形有关的问题，要明确椭圆、双曲线焦点三角形的特点，根据圆锥曲线的性质和定义建立焦点三角形三边之间的联系，构建关于a、c的关系式，这样便能快速找到解题的突破口，顺利解题.