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基本不等式的应用技巧

2022-07-12袁加顺

数理化解题研究·高中版 2022年6期
关键词:基本不等式教学反思技巧

摘要:基本不等式的应用技巧主要有转化、乘1、配凑、消元、放缩等技巧,应用时要注意条件,即一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.常用于求最值、范围与证明等方面.

关键词:基本不等式;技巧;点评;教学反思

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2022)16-0081-03

收稿日期:2022-03-05

作者简介:袁加顺(1966.12-),男,云南省祥云县人,本科,中小学高级教师,从事高中数学教学研究.[FQ)]

基本不等式是高中阶段学习的一个重要的不等式,也是高考常考的考点,应用较为广泛.常用于求范围、最值与证明等. 在应用基本不等式思考问题时,要关注一正、二定、三相等这三个条件是否满足,缺一不可.如果应用好这三个条件,掌握一些解题技巧,用基本不等式求最值等很多问题就能迎刃而解.

1 转化技巧

把方程或者等式利用基本不等式放缩为不等式,从而达到求解问题的目的.

例1已知正实数a,b满足ab=a+b+3,则a+b的取值范围是().

A.[9,+∞)B.[6,+∞)

C.(0,9]D.(0,6)

解析利用基本不等式把ab=a+b+3转化為a+b+3=ab≤a+b22,当且仅当a=b时取“=”,整理,得a+b2-4(a+b)-12≥0.

化简,得a+b+2(a+b-6)≥0.

因为a>0,b>0,所以a+b≥6,故选B.

点评题目需要求a+b的取值范围,只有把积ab用基本不等式转化为和a+b的形式,也就是把等式转化为不等式,问题就可以解决了.

2 乘1技巧

例2已知x+2y=xy(x>0,y>0),则2x+y的最小值为.

解析由x+2y=xy(x>0,y>0),

可得2x+1y=1.

则(2x+y)2x+1y=4+1+2yx+2xy≥5+

22yx·2xy=9,当且仅当2yx=2xy且2x+1y=1,即x=3,y=3时取等号.此时取得最小值9.

点评同一道题目,如果用到几次基本不等式,条件必须要统一,否则就不能使用,如果用乘1法,用一次基本不等式就能解决问题.

3 配凑技巧

3.1 配系数

有时候求解两个式子之积的最大值时,需要这两个式子之和为常数,但很多时候其和并不是常数,需要对其中某些系数进行调整,使得其和为常数.

例3当x∈0,2时,求函数f(x)=x(4-2x)的最大值.

解析f(x)=x(4-2x)=12·2x(4-2x)≤122x+4-2x22=2.

当且仅当2x=4-2x,即x=1时取等号.所以函数f(x)=x(4-2x)的最大值为2.

点评由x∈0,2可知4-2x>0,要满足和为定值,只有通过凑系数进行转化才可以用基本不等式求解.

3.2 配项

例4设x>3,求函数f(x)=x+16x-3最小值.

解析f(x)=x+6x-3=x-3+16x-3+3≥

2(x-3)·16x-3+3=11.

当且仅当x-3=16x-3,即x=7时取等号.

因此函数f(x)=x+16x-3的最小值为11.

点评要求和的最小值,必须积为定值,通过加上或减去项的方法可以实现.x+16x-3积不为定值,只要减去3得x-3+16x-3+3,就能凑成基本不等式的模型,从而达到解决问题的目的.

3.3 配次方

例5求函数y=x3-x2,x∈-3,3的值域.

解析2y2=2x23-x23-x2

≤2x2+3-x2+3-x233=8,

当且仅当2x2=3-x2,即x=±1时取等号.

所以函数y=x3-x2的值域为-2,2.

点评由于x∈-3,3,给出积的形式,要考虑用基本不等式,和必为定值,根据式子结构特点,两边平方乘以2即可.

3.4 复杂的配凑技巧

例6设x>-1,求函数f(x)=x2+2x+2x+1最小值.

解析f(x)=x2+2x+2x+1=x+12+1x+1=x+1+1x+1,因为x>-1,由基本不等式得

x+1+1x+1≥2x+1·1x+1=2,

当且仅当1x+1=x+1,即x=0时取等号.

故函数f(x)=x2+2x+2x+1的最小值为2.

点评若分子的次数高于分母的次数,则可考虑裂项,变为和的形式,然后“拼凑定积”.4 消元技巧

消元法是不等式中的两元问题,用一个字母表示另一个字母,再构造为基本不等式的标准型.

例7已知m>0,n>-1,且m+n=1,求m2+3m+n2n+1的最小值.

解析已知m>0,n>-1,且m+n=1,

所以n=1-m<1.

所以2-m>0.

所以m2+3m+n2n+1=m+3m+(1-m)22-m

=3m+12-m=12·m+(2-m)·3m+12-m

=12·3+m2-m+3(2-m)m+1

≥12·4+2m2-m·3(2-m)m

=4+232

=2+3,

当且仅当m2-m=3(2-m)m时取等号.

故m2+3m+n2n+1的最小值为2+3.

点评考虑消元,由m+n=1得n=1-m,代入m2+3m+n2n+1=m+3m+(1-m)22-m,通过适当的变形,利用基本不等式,问题就能解决.

例8若正数x,y满足1x+1y=1,求1x-1+4y-1的最小值.

解法1因为正数x,y满足1x+1y=1,

所以x>1,y>1.

1x+1y=1可变形为x+yxy=1.

可得xy-x-y=0.

化為(x-1)(y-1)=1.

所以y-1=1x-1.

因此有1x-1+4y-1=1x-1+4(x-1)≥

21x-1×4(x-1)=4,当且仅当1x-1=4(x-1),即x=32时取等号.

故1x-1+4y-1的最小值为4.

点评思考从不同的角度消元,由1x+1y=1,得y-1=1x-1或x=yy-1,代入1x-1+4y-1,适当变形,利用基本不等式,问题就能解决.

5 放缩技巧

有些代数式根据式子的结构特征经过拆、拼放缩后,再用基本不等式求最值.

例9设由a>b>c>0,则2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2的最小值为().

A.2 B.4 C.25D.5

解析2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2=a2-ab+1a2-ab+1ab+ab+a2-10ac+25c2

≥2(a2-ab)·1a2-ab+21ab·ab+a-5c2≥2+2+0=4.

当且仅当a2-ab=1a2-ab 且 1ab=ab且a=5c,即a=2,b=22,c=25时取等号.

故2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2的最小值为4.

故选B.

点评同一题目用几次基本不等式,相等的条件必须要统一,不能互相矛盾.换句话说,当且仅当a2-ab=1a2-ab,1ab=ab,a=5c,这三个等式中的a,b,c值要满足a>b>c>0才行.

参考文献:

[1] 吴晓英.中学数学解题思想方法技巧[M].西安:陕西师范大学出版总社,2012.

[2] 刘彦永.一题一课高中数学好题赏析[M].杭州:浙江大学出版社,2018.

[责任编辑:李璟]

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