吴陶伦，钱坤南

摘要：直观是理解数学知识、解决数学问题的重要工具。想象是数学学习不可或缺的技能。从“空间想象力”到“直观想象素养”的变化，强调了直观是想象的基础和固有属性。数学教学要尽可能让学生借助直观，包括经验直观、操作直观和图形直观，发挥想象。

关键词：直观;想象;《认识圆柱和圆锥》

直观在哲学上的含义是，人们在实践中对客观事物的直接、生动的反映。直观是理解数学知识、解决数学问题的重要工具。史宁中教授指出：数学的结果常常是“看”出来的，而不是“证”出来的。直观（特别是几何直观）是一种重要的用来“观察现实世界”的“数学眼光”②。

作为“最自由”的思考，想象是对头脑中已有的表象进行加工、改造和创新的思维过程。想象是数学学习不可或缺的技能。数学教学不仅要培养空间观念，帮助学生形成空间想象力③，而且要培养更广泛的观念，帮助学生发展更广泛的想象力④（如空间想象、时间想象、因果或相关想象）。

从传统的三大数学能力中的空间想象力到《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的六个数学核心素养中的直观想象素养，不是表述形式上的改写，而是本质内涵上的突破：直观是想象的基础和固有属性。因此，数学教学要尽可能让学生借助直观，发挥想象。下面，以苏教版小学数学六年级下册第二单元《认识圆柱和圆锥》一课为例，谈谈笔者的一些思考和做法。

一、利用经验直观，引发想象

经验直观是一种基于经历、体验的直观认识。生活经验通常是学习认知的本源，而且是相对直观的。因此，教学中，教师可以从学生的生活经验入手，发起数学学习活动，并充分利用学生的经验直观，引发学生的想象。

【片段1】

师（出示教材例1的主题图）图中哪些物体的形状是圆柱体？

生花柱、铅笔、蚊香盒的形状都是圆柱体。

师你能想出生活中还有哪些物体的形状也是圆柱体吗？

生自来水管、桥梁柱子等，它们的形状都是圆柱体。

虽然是认识圆柱的新授课，但学生在生活中对圆柱并不陌生，已经有了关于圆柱形物体的经验积累。因此，教学时，让学生看物体想圆柱，借助经验直观引发学生的想象，让学生在经验中搜寻圆柱形的物体，初步形成圆柱这一几何概念的表象。

【片段2】

师我们已经认识了数学上的点、线、面、体，你知道它们之间的联系吗？能借助生活经验说明吗？

生线是由点组成的，就像晚上一盏盏路灯亮起形成一条直线似的。

（教师演示“点动成线”。）

生由线可以形成面，飞机雷达显示屏上的一条线段通过旋转就形成了圆形的面。

生一条线段平移还可以得到长方形的面。

（教师演示“线动成面”。）

师那么，面动能成体吗？你觉得圆柱是怎么形成的？

生长方形平移可以形成长方体，类似地，圆平移可以形成圆柱，就像一个个圆片叠起来形成圆柱一样。

生长方形沿着一条边旋转也可以形成圆柱，就像我们看到的旋转门。

（教师演示“面动成体”。）

引导学生从点、线、面、体关系的角度，认识圆柱的形成过程，把握圆柱的本质属性，再次借助经验直观引发学生的想象。

二、通过操作直观，展开想象

人的思维发展通常是由具体形象思维到抽象逻辑思维。同时，人的认知发展是“从动作表征经图像表征而达到符号表征的世界”（布鲁纳语）。由此，可以把基本的直观大致分为操作直观和图形（或几何）直观——上述经验直观则可以看成是一种过往大量的操作、观察等活动积累形成的综合、整体的直觉。因此，教学中，教师要尽可能设计一些操作活动（特别是学生以往经验中所没有的操作活动），让学生通过操作直观，展开想象。

【片段3】

师仔细观察手中不同的圆柱学具，并用手摸一摸，用尺量一量，将它们比一比。

（学生活动。）

师通过操作，你有什么感受和发现？

生我发现，圆柱的上下有两个面是圆形的，中间还有一个面是弯曲的。

师非常好！我们把上下这两个圆形的面叫作圆柱的底面，中间这个弯曲的面叫作圆柱的侧面。

生我发现，这两个圆形的面是完全相同的。

師你怎么确定这两个面是完全相同的？

生我是看出来的。

生我是量出来的，只要量出这两个圆形的直径做比较，就可以确定了。

生我是把一个圆形底面在纸上画下来，再和另一个圆形底面比较，来确定的。

师同学们发现了圆柱共同的特征，即有两个完全相同的底面和一个侧面。那么，（出示实物）请看这个腰鼓，请同学们摸一摸腰鼓的侧面，再摸一摸圆柱的侧面。腰鼓的形状是圆柱吗？说说理由。

生腰鼓的形状不是圆柱，因为它虽然有两个相同的圆形底面，侧面也是曲面，但这个曲面（的纵截线）不是直的。

师请闭眼想象一下圆柱有什么特征。

（学生活动。）

师好。现在来测量一下圆柱的高度。

（学生活动。）

师你是怎么测量圆柱的高度的？

生我是在圆柱的侧面上量出它的高度的。

生在圆柱四周的侧面上都可以量出高度。

师既然你们都会测量圆柱的高度，那么什么是圆柱的高呢？

生我们在侧面测量的地方就是圆柱的高。

生两个底面圆心之间的距离就是圆柱的高。

生两个底面之间的距离就是圆柱的高。

师请想象一下：圆柱有多少条高？

生圆柱有无数条高。

圆柱的面和圆柱的高是体现圆柱特点的两大要素。教学中，通过摸一摸、量一量、比一比等操作活动，促使学生展开想象，感悟圆柱的共同特征。特别是从摸一摸入手，让学生感知圆柱的侧面，因为这是学生认识立体图形时第一次接触曲面，可以激发学生对曲面的直观想象，感受曲面与平面的区别;初步建立圆柱的高的概念后，引导学生展开想象，获得圆柱的高有无数条的认识，完善对圆柱特征的认知。

三、基于图形直观，促进想象

相对于操作直观，图形（或几何）直观是更基础、重要的直观，更接近直观的本意（心理表征）：除了具身体验，操作直观可以看成是由一系列图像（表象）构成的直观。因此，教学中，教师要尽可能设计构造图形、观察分析的活动，让学生基于图形直观，促进想象。

【片段4】

师如果将一个圆柱横放在桌面上滚动一周，滚过部分是什么图形？这个图形与这个圆柱有什么关系？

（学生尝试滚动圆柱，画出图形。）

师哪位同学能说说你的想法？

生圆柱横放在桌面上滚动一周，滚过部分实际上就是这个圆柱的侧面，所以是长方形，长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。

生也有可能是正方形，如果圆柱的底面周长和高相等的话。

生如果这个圆柱的底面很小，但很高，那么这个长方形的长应该是圆柱的高，宽则是圆柱的底面周长。

师由此，你还能想到什么？

生我还想到，用底面周长乘高就可以算出圆柱的侧面积，因为这就是一个长方形的面积。

师除了滚动一周画出圆柱的侧面展开图形，还有什么方法能够得到这个图形？

生用一张纸包裹圆柱侧面，剪掉多余部分，然后将其展开。

师如果从圆柱上底面的直径垂直切下去，切出来的面会是什么图形？这个图形与这个圆柱有什么关系？

（学生切分圆柱学具，画出图形。）

生切出来的面是长方形。

生长方形的一条边是圆柱底面的直径，另一条边是圆柱的高。

师由此，你还能想到什么？

生用底面直径乘高就可以算出圆柱的轴截面面积。

师还有什么方法能够得到圆柱的轴截面图形？

生用平行于底面的光线照射圆柱，看它在垂直于光线的面上的投影。

立体图形大多是由平面图形“围”或“动”形成的，与平面图形关系密切。认识圆柱的基本特征后，还要引导学生认识圆柱表面展开图形以及部分截面图形的特征，沟通它们与圆柱的内在联系，从而通过“面”“体”联系全面把握圆柱的特征。教学中，让学生通过转化手段画出平面图形，借助图形直观，发挥想象，建立图形之间的关系。