赵江甫， 刘海

1. 福建江夏学院 数理教研部， 福州 350108； 2. 华中师范大学 国家数字化学习工程技术研究中心， 武汉 430079

在不考虑旋转与反射的前提下， 弦协差能否唯一确定一个凸体? 这就是著名的马赫猜想． 马赫猜想也等价于这样一个问题： 所有的有向弦长分布能否确定一个凸体? 运用弦长分布来证明马赫猜想是一个非常有效的办法． 目前， 当n=2时， 马赫猜想得到了肯定的回答[1-3]．

随着学者们的不断深入研究， 弦协差已经应用到了众多领域， 比如凸几何、 图像分析、 傅里叶分析中的相位恢复、 晶体学[4-6]等． 因此求出弦协差的具体解析式显得尤为重要， 但这并不容易． 在这方面， Ohanyan和他的团队做出了很大贡献． 他们利用定义法， 得到了一些特殊凸体(比如圆盘、 等边三角形域、 矩形域、 圆柱体、 椭圆柱体、 三棱柱、 球体等)的弦协差解析式[7-14]．

尽管如此， 仍有很多凸域(比如正五边形域、 任意四边形域、 任意正多边形域等)的弦协差没有解决． 而且目前的研究成果大多是针对中心对称区域， 轴对称区域较少． 为此， 本文以正五边形域为例， 研究轴对称凸域的弦协差及其在几何概率中的应用．

1 预备知识

在n维欧氏空间Rn中， 设K为凸体(具有非空内点的紧凸集)，Vn为n维勒贝格测度，Sn-1为球心在原点的n-1维单位球面[15-16]．Sn-1中的每一个元素u称为一个方向． 经过原点且与方向u平行的直线记为Gu． 垂直于方向u且通过原点的n-1维子空间记为u⊥． 凸体K在u⊥上的正交投影记为∏ru⊥K．

定义1[13]设G(x，u)为平行于方向u且与∏ru⊥K相交于……