吴昌耀， 陈剑尘， 何焕民

1. 南昌航空大学， 数学与信息科学学院， 南昌 330063； 2. 汕头市林百欣科学技术中等专业学校， 广东 汕头 515057

关于集值向量最优化问题， 自文献[1-2]， 在赋范向量空间中， 给出超有效点的相关定义以来， 已有不少专家和学者对超有效性进行研究[3-6]． 受文献[6]启发， 本文对含参数的集值向量优化问题超有效点集的连通性进行研究． 首先， 引入含参数超有效点集的相关概念， 然后， 在含参数的目标集值映射是C-弧连通的， 可行域为弧连通紧且参数扰动的情况下， 证明了含参数集值向量优化问题的超有效点集的连通性．

1 预备知识

本文假设X，Y和Z均为Hausdorff局部凸的拓扑线性空间，Y*为Y的拓扑对偶空间．N(0)为Y的零点邻域基． 设M⊂Y且M≠∅， 分别用int(M)， cl(M)， conv(M)， 表示M的内部、 闭包以及凸包． 由M生成的锥记为cone(M)={lm：l≥0，m∈M}．

设C⊂Y为非空闭凸点锥， 且int(C)≠∅(其中int(C)表示C的内部)．C*为C的拓扑对偶锥， 记为

C*={f∈Y*：f(c)≥0， ∀c∈C}

C#为C的对偶锥C*的拟内部， 记为

C#={f∈Y*：f(c)>0， ∀c∈C{0}}

非空凸子集B⊆C称为C的基， 若C=cone(B)且0∉cl(B)． 显然有：

另外， 以下结论也是成立的：

定义1[7]设D⊂Y为非空子集．y*∈D称为D关于C的有效点， 记为y*∈E(D，C)， 如果(D-y*)∩(-C)⊂C． 如果C为点锥， 则y*∈D为有效点⟺(y*-D)∩C={0}⟺(y*-C)∩D={y*}．

定义2[7]设D⊂Y为非空子集．y*∈D称为D关于C的超有效点， 记为y*∈SE(D，C)， 设N(0)是Y的零点邻域基， 若对∀V∈N(0)， 都∃U∈N(0)， 使得

cl(cone(D-y*))∩(U-C)⊂V

注1显然， 超有效点必为有效点， 即SE(D，C)⊂E(D，C)． 反之不成立．

引理1[3]设D⊂Y为非空子集，C⊂Y是闭凸点锥， 且C有有界基B， 则

SE(D，C)=SE(D+C，C)

接下来， 我们介绍一下集值映射的一些基本概念和结论．

tF(x1)+(1-t)F(x2)⊂F(tx1+(1-t)x2)+C

conv(F(A))⊂F(A)+C

φx1， x2(0)=x1，φx1， x2(1)=x2

(1-t)F(x1)+tF(x2)⊆F(φx1， x2(t))+C

(1-t)F(x1)+tF(x2)⊆F(φx1， x2(t))-C

注3C-弧连通的必为C-类凸的， 反之不成立．

F(x)={(x1，x2)， (1， 1)}， ∀x=(x1，x2)∈A1

则F在A1上是C-类凸的， 但F不是C-弧连通的．

SE(F(A)，C)=SE(F(A)+C，C)=SE(conv(F(A))，C)

h(y*)=min{h(y)|∀y∈F(A)}

SE(F(A)，C)=∪{PE(F(A)，h)|h∈int(C*)}

其中

PE(F(A)，h)=PE(conv(F(A))，h)

称F在A上是上半连续的， 如果F在A上每一点均是上半……