詹涌强

广东交通职业技术学院 基础部数学教研室， 广州 510800

抛物型方程是偏微分方程中的一种重要方程， 它广泛应用于力学、 天文学、 物理学、 生态学及工程技术等各个领域中， 对于上述各领域中的许多问题， 为了定量或定性地对它们展开系统的研究， 需要建立各种数学模型， 而建立起来的这些数学模型最后都可归结为求解相应的抛物型方程， 这些抛物型方程是没有精确解的， 我们只能通过计算机求它们的数值解， 常见的数值解法有有限元法、 有限体积法、 边界元法和有限差分法等． 这些方法中， 有限差分法仍然是求解抛物型方程的重要方法． 经典的差分格式， 有古典显式格式、 古典隐式格式、 Crank-Nicolson格式等， 这些差分格式形式简单且稳定性条件好， 但它们的截断误差(精度)低， 古典显式格式与古典隐式格式的精度仅为O(Δt+Δx2)， Crank-Nicolson格式的精度为O(Δt2+Δx2)[1-2]， 与精确解的误差都较大． 因此， 高精度且稳定性好的抛物型方程的差分格式的构造成了许多学者研究的问题．

生态学中提出的各种数学模型、 神经轴突中电脉冲的传导及燃烧理论等许多物理现象， 以及热的传导、 流体在多孔介质中的运动规律等可归结为如下经典的抛物型方程-热传导方程， 本文讨论二维的情形：

(1)

1 一个差分近似式

化简得

为方便起见， 记

2 高精度差分格式的构造

利用上面的差分近似式和已知的差分近似式构造如下的差分格式来逼近方程(1)

(2)

将(2)式中各节点上的u在节点(jΔx，kΔy，nΔt)处作Taylor展……