函数性质中的数学抽象在问题解决与设计中的应用
2022-07-08201299上海市新川中学姚志青
中学数学杂志 2022年4期
201299 上海市新川中学 姚志青
2017年版《普通高中数学课程标准》给出了普通高中数学学科的核心素养要求，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面.
数学发展所依赖的思想在本质上有三个，即抽象、推理、模型，其中抽象是核心.
数学抽象作为一种数学思想渗透在数学学科的各个知识点之中，笔者对如何在函数性质中体现数学抽象以及如何应用数学抽象进行问题设计展开实践与研究.
一、 数学抽象在函数性质中的体现
函数是贯穿高中数学的一条主线，数学抽象在函数问题中的应用非常广泛，以2021年上海高考的数学压轴题为例.
原题
如果对于任意的x
,x
∈R
，当x
-x
∈S
时，恒有f
(x
)-f
(x
)∈S
成立，则称f
(x
)是S
关联.
(1)判断并证明f
(x
)=2x
-1是否是[0,+∞)关联？是否是[0,1]关联？(2)已知f
(x
)是{3}关联，且x
∈[0,3)时，f
(x
)=x
-2x
，解不等式2≤f
(x
)≤3.
(3)求证：“f
(x
)是{1}关联，且是[0,+∞)关联”的充要条件是“f
(x
)是[1,2]关联”.
这个问题是一个函数的定义型问题，它定义了“f
(x
)是集合S
关联的概念”，通过函数性质的应用考查学生的数学核心素养.
函数性质的应用体现了其源于教材中的形式，需要将函数的性质在文字语言、符号语言、图像表述三个方面进行内化，以理解函数性质的本质特征.
这个内化的过程可以体现在数学抽象方面，所谓数学抽象就是能够根据一类数学对象抽取或归纳出其本质特征的思维过程.
笔者结合上述具体的步骤，分析问题中涉及数学抽象的三个方面.
小问(1)解：
由f
(x
)=2x
-1，得f
(x
)-f
(x
)=2(x
-x
).
当x
-x
∈[0，+∞)时，f
(x
)-f
(x
)∈[0,+∞)，所以f
(x
)是[0,+∞)关联；当x
-x
∈[0,1]时，f
(x
)-f
(x
)∈[0,2]，所以f
(x
)不是[0,1]关联.
