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概率问题学习导引

2022-07-08潘银春

中学生数理化·高一版 2022年6期
关键词:合格证书射中靶心

潘银春

概率是对随机事件发生可能性大小的度量,概率是高考的必考内容。高考主要考查随机事件的概率,考查事件的相互独立性以及概率与频率等。下面举例分析,供大家学习与提高。

一、互斥事件的概率及其应用

互斥事件与对立事件的概率计算:若事件求复杂事件的概率常用的两种方法:将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;先求其对立事件的概率,再应用公式P(A)= 1-P(A)求解。

例1 黄种人群中各种血型的人所占的比例如表1所示。

已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血,张三是B型血,若张三因病需要输血,请问:

(1)任找一个人,其血可以输给张三的概率是多少?

(2)任找一个人,其血不能输给张三的概率是多少?

二、事件的相互独立性

利用相互独立事件求复杂事件概率的三种思路:将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和;将彼此互斥的简单事件中的简单事件,转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件;代入概率的积、和公式求解。

例2计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书。甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为4/5,3/4,2/3,在实际操作考试中“合格”的概率依次为1/2,2/3,5/6所有考试是否合格相互之间没有影响。

(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大?

(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率。

解:(1)设“甲获得合格证书”为事件A,

(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少?

(2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少?

(3)假设该射击运动员射击了10次,前9次中有8次击中靶心,那么第10次一定击中靶心吗?

解:(1)由表可知,击中靶心的频率在0.9附近,故击中靶心的概率大约是0.9。

(2)击中靶心的次数大约是300×0.9=270。

(3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化。最后一次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定击中靶心。

四、概率问题中的补集思想

在解答概率应用问题中,当某一事件的概率不易直接求出或求解较为困难,但该事件的对立事件的概率比较容易求得时,可利用公式“P(A)+P(A)=1”从反面进行思考,将所求事件的概率转化为求其对立事件的概率,这就是概率问题中的补集思想。

例4 甲、乙兩名射击运动员分别对同一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9。

(1)求两人都射中的概率。

(2)求两人中恰有一入射中的概率。

(3)求两人中至少有一人射中的概率。

解:设“甲射击一次,射中目标”为事件A,“乙射击一次,射中目标”为事件B。事件A与B是相互独立的。

(1)两人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.

(2)两人中恰有一人射中的概率为P(AB)+P(AB)=0.8×(1- 0.9)+(l-0.8)×0.9=0.26。

(3)两人中至少有一人射中的概率为1-P(AB)=I-P (A)P (B)=1-0.2×0.1=0.98。

感悟与提高

新高考的“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式。某同学已选了物理,记事件A为“他选择政治和地理”,事件B为“他选择化学和地理”,则事件A与事件B( )。

A.是互斥事件,不是对立事件

B.是对立事件,不是互斥事件

C.既是互斥事件,也是对立事件

D.既不是互斥事件也不是对立事件

提示:事件A与事件B不能同时发生,但能同时不发生,故事件A与B是互斥事件,不是对立事件。应选A。

作者单位:江苏省郑梁梅高级中学

(责任编辑 郭正华)

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