黄伟军

通过认真研究近几年新课标高考试题，发现以不等式作为工具，与其他知识进行交汇，特别是函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点涉及到最值或范围的问题，常常需要借助不等式来解决，本文结合一些典型的例题谈谈不等式在这方面的应用，供考生们在复习备考中参考，提高备战高考的复习效率，做到心中有数，触类旁通.

考点1：不等式与函数的交汇

例1. 函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且为奇函数. 若f（1）=-1，则满足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范围是          .

答案：[1，3].

解析：因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）. 又因为f（1）= -1，所以f（-1）=-f（1）=1. 故由-1≤f（x-2）≤1，得f（1）≤f（x-2）≤ f（-1）. 又f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，所以-1≤x-2≤1，得到1≤x≤3. 故填[1，3].

评注：解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x1）> f（x2）或f（x1）< f（x2）的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响.

例2. 设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式<0的解集为             .

答案：（-1，0）∪（0，1）.

解析：因为f（x）为奇函数，所以不等式<0可化为<0，即xf（x）<0，f（x）的大致图像，如图所示. 所以xf（x） <0的解集为（-1，0）∪（0，1）.

评注：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用數形结合求解. 利用函数图像的直观性求解不等式问题，关键在于准确作出函数图像，根据函数解析式的特征和图像的直观性确定函数的相关性质，特别是函数图像的对称性等，然后解决不等式问题.

考点2：不等式与导数问题的交汇

例3. 已知函数f（x）=ex的图像在点（0， f（0））处的切线为l，动点（a，b）在直线l上，则2a+2-b的最小值为                .

答案：.

解析：由题意得f ′（x）=ex， f（0）=e0=1，k=f ′（0）=e0=1，所以切线方程为y-1=x，即x-y+1=0，所以a-b+1=0，所以a-b=-1， 所以2a+2-b≥2=2=2=，当且仅当a=-，b=时取等号.

例4. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f  ′（x）>1， f（0）=4，则不等式exf（x）>ex+3的解集为（ ）

（A）（0，+∞）      （B）（-∞，0）∪（3，+∞）

（C）（-∞，0）∪（0，+∞）    （D）（3，+∞）

答案：（A）.

解析：由exf（x）>ex+3变形，得ex[f（x）-1]-3>0，设g（x）=ex[f（x）-1]-3，所以原不等式等价于g（x）>g（0）.

因为g′（x）=ex[f（x）-1]+ex·f  ′（x）=ex[f（x）+f  ′（x）-1]>0，所以 g（x）在定义域R上递增，由g（x）>g（0），得x>0，故选（A）.

评注：本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力. 导数解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性解不等式.

考点3：不等式与新定义问题的交汇

例5. 在实数集R中定义一种运算“”，具有性质：①对任意a，b∈R，ab=ba;②对任意a∈R，a0=a;③对任意a，b，c∈R，（ab）c=c（ab）+（ac）+（bc）-2c;函数f（x）=x（x>0）的最小值为（ ）

（A）4  （B）3  （C）2  （D）1

答案：（B）.

解析：根据条件③，对于任意的a，b，c有（ab）c=c（ab）+（ac）+（bc）-2c，

∴取c=0得（ab）0=0（ab）+（a0）+（b0）-2·0，由①②得a0=0a=a对任意实数a都成立，代入上式得：ab=ab+a+b这就是运算的定义，将其代入题目检验符合①②③，

∴ f（x）=x=x·+x+=x++1≥2+1=3，当且仅当x=1时“=”成立，即函数f（x）=x（x>0）的最小值为3. 选（B）.

考点4：不等式与数列的交汇

例6. 已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值是            .

答案：.

解析：a7=a6+2a5？圯a1q6=a1q5+2a1q4？圯q2-q-2=0，解得q=-1或q=2，qm+n-2=16，2m+n-2=24，m+n=6，（+）（+）=+++≥+=.

当且仅当n=2m取得等号，则+的最小值是为.

例7. 已知数列{an}的通项公式为an=，则数列{an}中的最大项是            .

答案：.

解析：令f（x）=x+（x>0），运用基本不等式得f（x）≥6，当且仅当x=3时等号成立. 因为an==，所以≤由于n∈N*，不难发现当n=9或n=10时，a9=a10=最大.

评注：数列的最值问题可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.

考点5：不等式与三角函数的交汇

例8. 已知角？琢，？茁的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，角？琢，？茁的终边上分别有点A（1，a），B（2，b），且？琢=2？茁，则+b的最小值为            .

答案：.

解析：由已知得tan？琢=a，tan？茁=因為？琢=2？茁，所以tan？琢=tan2？茁，所以a=即a=，所以+b=+b=+b≥2=当且仅当=b即b=取等号.

例9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b.

若△ABC的面积为S=c，求ab的最小值.

解析：∵==. 由已知可得，2sinCcosB=2sinA+sinB，

则有2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0.

∵B为三角形的角，∴sinB≠0，∴cosC=-.

又∵C为三角形的内角，∴C=-.

∵S=absinC=c，∴C=ab.  又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab，

∴=a2+b2+ab≥3ab.

∴ab≥12，故ab的最小值为12.

例10. 已知函数f（x）=cosx（sinx-cosx）+. 将函数y= f（x）的图像向左平移后得到函数y=g（x），若x∈[0，]时，不等式c

解析：g（x）= f（x+）=sin（2x+-）=sin（2x+）.

当x∈[0，]时，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[-，1].

即-≤g（x）≤1，又c1，解得：-1

∴实数c的取值范围为：（-1，-）.

评注：本题考查三角函数值的求解、正弦型函数在区间内的值域的求解;涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数式、三角函数的平移变换等知识;解决本题中恒成立问题的关键是找到不等式上下限与三角函数最值之间的关系，从而构造不等式组求得结果.

考点6：不等式与向量的交汇

例11. 已知向量，满足：==1，且k+=-k（k>0）. 则向量与向量的夹角的最大值为          .

答案：.

解析：由k+=-k，得k+2=（-k）2，即k22+2k·+2=3（2-2k·+k22），所以k2+2k·+1=3（1-2k·+k2），即·=（k+）. 因为k>0，所以·=（k+）≥×2=，所以cos<，>=≥，<，>∈[0，]，即向量与的夹角的最大值为.

例12. 已知向量=（1，2），=（-2，1）. k，t为正实数，向量 =+（t2+1），y=-k+，若x⊥y，则k的最小值为          .

答案：2.

解析：=+（t2+1）=（-2t2-1，t2+3），=-k+=（-k-，-2k+），由⊥，则·=0，即（-2t2-1）（-k-）+（t2+3）（-2k+）=0，整理得k=. 因为k、t为正实数，所以k=t+≥2. 当且仅当t=1时，k=2，故k的最小值为2.

例13. 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°. 动点E和F分别在线段BC和DC上，且=？姿，=，则·的最小值为            .

答案：.

解析：以点A为坐标原点，AAB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系（图略），则B（2，0），C（，），D（，）. 又=？姿，=，则E（2-？姿，？姿），F（+，），所以·=（2-？姿）（+）+？姿=++？姿≥+=，当且仅当？姿=时取等号，故·的最小值为.

考点7：不等式与立体几何的交汇

例14. 已知三棱锥S-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，则三棱锥S-ABC的侧面积的最大值为（ ）

（A）. 1  （B）. 2  （C）. 4  （D）. 8

答案：（B）

解析：以SA，SB，SC为棱构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，因为SA2+SB2+SC2=4R2=4，所以S侧=（SA·SB+SB·SC+SC·SA）≤（++）=2，

故选（B）.

考点8：不等式与解析几何的交汇

例15. 若直线ax+by-2=0（a>0，b>0）过曲线z=1+sin？仔x（0

答案：5.

解析：曲线z=1+sin？仔x（00，b>0，所以+=+b+=a+1+b++-2=++1（+）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当a+1=b时，a=，b=取等号. 则+的最小值为4+1=5.

评注：求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.本例借助直线方程间接给出等量關系“+=1”，在求最值中基本不等式起了“穿针引线”的作用.

考点9：不等式与恒成立问题的交汇

例16. 已知正实数x，y满足3x+3y+4=4xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）2+1≥t（x+y）恒成立，则实数t的取值范围为                .

答案：（-∞，] .

解析：要使（x+y）2-t（x+y）+1≥0恒成立，则有（x+y）2+1≥t（x+y），即t≤（x+y）+恒成立. 由3x+3y+4=4xy可得x+y+=xy，得x+y+=xy≤（）2=（x+y）2，即（x+y）2-3（x+y）-4≥0解得x+y≥4或x+y≤-1（舍去）设m=x+y，则m≥4，函数y=（x+y）+=m+，在m≥4时，单调递增，所以y=m+的最小值为4+=，所以t≤，即实数t的取值范围是（-∞，].

考点10：不等式与实际问题的交汇

例17. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示. 当车速为v（米/秒），且v∈（0，33.3]时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1，2]）.

（1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式d（v）;并求当k=1，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）;

（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？

解析：（1）由题意得，d（v）=d0+d1+d2+d3，

∴d（v）=10+0.8v+0.2v+=10+v+，

当k=1时，d（v）=10+v+，

则t（v）=++1≥2+1=+1≈2.4（秒）.

即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒;

（2）要求对任意k∈[1，2]，d（v）<50恒成立，

即对任意k∈[1，2]，10+v+<50，即<-恒成立.

由k∈[1，2]，得∈[，]，

∴<-，即v2+20v-800<0，解得-40

∴0

而20×=72（千米/小时）.

即汽车的行驶速度应限制在72千米/小时.

考点11：不等式与复数交汇

例18. 若对一切？兹∈R，复数z=（a+cos？兹）+（2a-sin？兹）i的模不超过2，则实数a的取值范围为                 .

答案：[-，] .

解析：   [-，]依题意得z=

==（tan？渍=2），故z的最大值是=a+1，令a+1≤2，解得-≤a≤，因此实数a的取值范围为[-，] .

责任编辑 徐国坚