高慧明

高考數学填空题的特征是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”. 填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足;第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活. 从历年高考数学成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”. 解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等.

方法一：直接法

直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论. 这种策略多用于一些定性的问题，是解填空题最常用的策略. 这类填空题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法.

例1. 已知双曲线C1：-=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，第一象限内的点M（x0，y0）在双曲线C1的渐近线上，且MF1⊥MF2，若以F2为焦点的抛物线C2：y2=2px（p>0）经过点M，则双曲线C1的离心率为_______.

思路分析：由题意可得y0=x0，又由MF1⊥MF2，可得y02+x02=c2，联立得x0=a，y0=b，又由F为焦点的抛物线C2：y2=2px（p>0）经过点M，化简得c2-4ac-a2=0，根据离心率e=，可得e2-4e-1=0，即可求解.

【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点为F1 （-c，0），F2 （c，0），可得y0=x0……①

又MF1⊥MF2，可得·=-1，即为y02+x02=c2……②由a2+b2=c2，联立①②可得x0=a，y0=b，由F为焦点的抛物线C2：y2=2px（p>0）经过点M，可得b2=2pa，且=c，即有b2=4ac=c2-a2，即c2-4ac-a2=0，由e=，可得e2-4e-1=0，解得双曲线C1 的离心率e=2+.

【点评】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键. 求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a，c的值，代入公式e=;②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，转化为a，c的齐次式，然后转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e（e的取值范围）.

例2. 设球的半径为，该球的内接圆锥（顶点在球面上，底面为某平面与球的截面）的体积为V，则V的最大值为___________.

【解析】依题意可知，圆锥与球的轴截面如图，

设圆锥的底面圆半径为r，高为h，

则（h-）+r2=（），即r2=h-h2，

所以V=？仔r2h=？仔（h2-h3）（0

求导可得V′（h）=？仔（h-h2），当00，当1

于是V（h）在（0，1）上单调递增，在（1，）单调递减，所以当h=1时，体积取得最大值为.

故答案为.

例3. 如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A′？埸平面ABC）是△ADE沿DE翻折过程中的一个图形，给出下列命题：

①平面A′FG⊥平面ABC;

②BC∥平面A′DE;

③三棱锥A′-DEF的体积的最大值为a3;

④动点A′在平面ABC上的射影恒在线段AF上;

⑤直线DF与平面A′FG所成角为60°.

其中正确命题的序号是________.（写出所有正确命题的序号）

【解析】由已知可得四边形ADEF是菱形，则DE⊥GA，DE⊥GA′，DE⊥GF，所以DE⊥平面A′FG，所以平面A′FG⊥平面ABC，①正确;

又BC∥DE，所以BC∥平面A′DE，②正确;

当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′-DEF的体积达到最大，最大值为××a2×a=a3，③正确;

由平面A′FG⊥平面ABC，可知点A′在平面ABC上的射影恒在线段AF上，④正确;

在翻折过程中，DF与平面A′FG所成角是∠DFG=30°，⑤不正确.

所以正确命题的序号是①②③④.

【点评】直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.

方法二：特例法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出待求的结论. 这样可大大地简化推理、论证的过程.

例4. 已知函数f（x）=1+（a∈R）为奇函数，则a=________.

【解析】根据奇函数的特点，带入特殊值即可求出a的值.

函数 f（x）的定义域为R，又因为 f（x）为奇函数，所以 f（0）=0，即1+=0，解得a=-2.

【点评】（1）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 f（x）± f（x）=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值;（2）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f（x）的方程，从而可得f（x）的值或解析式.

求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解. 本题中的发现函数过一个定点是本题的运用特值法的前提条件，从而减少了计算量.

方法三：数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形.

例5. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）=f（e-x），且f（0）=0，当x∈（0，e]时，f（x）=lnx. 已知方程f（x）=sin（x）在区间[-e，3e]上所有的实数根之和为3ea. 将函数g（x）=3sin2（x）+1的图像向右平移a个单位长度，得到函数h（x）的图像，则a=__________，h（8）=__________.

【解析】根据函数f（x）为偶函数且f（e+x）=f（e-x），所以f（x）的周期为2e，f（x）=sin（x）的实数根是函数f（x）和函数y=sin（x）的图像的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图像，根据函数的对称性可得所有实数根的和为6e，从而可得参数a的值，最后求出函数h（x）的解析式，代入求值即可.

因为f（x）为偶函数且f（e+x）=f（e-x），所以f（x）的周期为2e. 因为x∈（0，e]时，f（x）=lnx，所以可作出f（x）在区间[-e，3e]上的图像，而方程f（x）=sin（x）的实数根是函数f（x）和函数y=sin（x）的图像的交点的横坐标，结合函数f（x）和函数y=sin（x）在区间[-e，3e]上的简图，可知两个函数的图像在区间[-e，3e]上有六个交点. 由图像的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e，所以6e=3ea，故a=2.

因为g（x）=3sin2（x）+1=-cos+，

所以h（x）=-cos[（x-2）]+=cos（x）+. 故h（8）=cos（4？仔）+=4.

故答案为2;8.

【点评】图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.

方法四：构造法

构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.

例6. 设 f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+ f′（x）<1，f（0）=2018，则不等式ex f（x）>ex+2017（其中e为自然对数的底数）的解集为______.

【解析】构造函数g（x）=exf（x）-ex，通过求导及已知不等式可得出g（x）为递增函数，再将原不等式化为g（x）>g（0）可解得.

令g（x）=exf（x）-ex，则g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex（f（x）+f′（x）-1），

∵f（x）+f′（x）<1，∴ f（x）+f′（x）-1<0，∴g′（x）<0，g（x）在R上为单调递减函数.

∵g（0）=f（0）-1=2018-1=2017，∴原不等式可化为g（x）>g（0），根据g（x）的单调性得x<0，∴不等式ex f（x）>ex+2017（其中e为自然对数的底数）的解集为（-∞，0），故答案为（-∞，0）.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及单调性的应用，关键是构造函数，考查了分析问题的能力，属于难题.

方法五：归纳推理法

做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论（或直接给出了几个结论），然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题.归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想.

例7. 图中是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图，我们彩用 “坐标”来表示图乙各行中的白圈黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）比如第一行记为（0，1），第二行记为（1，2），第三行记为（4，5），照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为_________.

【解析】本题中如何求出第四行中白圈与黑圈的“坐标”是解题的一个关键，也是一个难点，观察所给条件不难发现运用特殊到一般的规律进行处理，进而求解.

由图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为2个黑圈1个白圈，记某行白圈X个，黑圈y个为（x，y），则第一行记为（0，1），第二行记为（1，2），第三行记为（4，5），第四行白圈数为2×5+4=14，黑圈数为5+2×4=13，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为（13，14），故答案为（13，14）.

【点评】这类问题是近几年高考的热点. 解决这类问题的关键是找准归纳对象. 如本题把函数的前几个值一一列举出来.观察前面列出的函数值的规律，归纳猜想一般结论或周期，从而求得问题.

从考试的角度来看，解填空题只要做对就行，不需要中间过程，正因为不需要中间过程，出错的概率大大增加. 我们要避免在做题的过程中产生笔误，这种笔误很难纠错，故解填空题要注意以下几个方面：

（1）要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确;

（2）要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;

（3）要重视对所求结果的检验;

（4）注意从不同的角度分析问题，从而比较用不同的方法解决题目的速度与准确度，从而快速切题，达到准确解题的目的.

填空题的主要特征是题目小，跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力. 近几年来全国新课程高考数学填空题作为命题改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了.

【本文系北京市教育科学 “十三五” 规划课题 “基于核心素养的高中数学核心概念课堂教学的反思与重构研究” （编号：CDDB19238）阶段性研究成果】

责任编辑 徐國坚