杨金梅

摘  要：拉格朗日中值定理是高等数学微分学部分非常突出、重要的研究成果，在微积分发展过程中占据着极其重要的地位，是高等数学微分学部分的基础，也是中值定理的核心内容，能够将函数和导数联系起来，为其他微分学中值定理的推广奠定基础，在理论研究与实践中具有重要的应用价值。拉格朗日中值定理的证明是考研高等数学科目中常出现的问题，具有一定的难度。证明该定理的关键在于采用逆向思维的方式，构建辅助函数，主要方法包括罗尔定理证明、旋转法证明、常数k值证明等。对拉格朗日中值定理进行推广，拓宽其使用范围，充分发挥数学研究的价值，可用于求解极限、不等式、函数、证明类问题，能够将问题化繁为简，为解决数学问题提供便利。

关键词：高等数学;拉格朗日中值定理;推广

中图分类号：O172.1         文献标识码：A           文章编号：1672-4437（2022）02-0058-07

高等数学领域主要研究定义于实数集的函数的性质，微分中值定理是探究函数性质最重要、最有效的研究工具之一。深入理解和掌握微分中值定理相关知识，明确其证明方法和应用条件是学习微分学的首要法则[1]。微分中值定理主要讨论利用什么方法能够根据导数已知性质判断和推导相应函数的全部性质，将函数性质研究和导数知识运用密切联系在一起，在数学领域具有重要作用。高等数学中常见的微分中值定理包括罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理和泰勒（Taylor）中值定理。这些定理存在递进关系，后者可以由前者推导得出，其中拉格朗日中值定理属于核心内容，是学习函数极值、单调性、最值，以及曲线凹凸性等内容的基础[2]。高等数学教材通常对于拉格朗日中值定理的介绍较为简单，教师可以对其证明方法进行简单讲述，但应详细讲解相关推广定理及其具体应用，以加深学生对知识点的理解，为学生以后的学习奠定基础。

1 拉格朗日中值定理概述

拉格朗日中值定理，又称“拉氏定理”或“有限增量定理”（以下将其称为“拉氏定理”）。在古希腊时期就存在与中值定理相关的结论，1797年，法国数学家拉格朗日提出拉式定理并对其进行证明。随着数学领域研究的不断深入，拉式定理逐渐成为中值定理的核心内容，成为连接函数和导数的桥梁，作为研究函数的工具在微积分相关问题中得到广泛应用。

1.1拉氏定理内容

倘若函数f（x）满足以下两个条件：其一，函数在开区间（a，b）内可导;其二，函数在闭区间[a，b]上为连续函数，则开区间（a，b）内至少存在一点 ，使得下列等式成立[3]：

上述等式还可变型为：

对罗尔定理进行推广可以得到拉式定理，对拉式定理进行合理的推理可以得到柯西中值定理，而拉氏公式与特殊阶0阶的泰勒公式相同。拉氏定理不仅可以证明等式或不等式，而且可以探究函数单调性、连续性和凹凸性等性质，应用范围广泛。

1.2定理的证明方法

作为微分学部分的基础内容，学习拉氏定理的证明方法，可以帮助学生更加深入地理解定理的精髓，掌握定理的使用方法。定理的证明思路主要是辅助函数的构造，根据选择的辅助函数的差异，可以选择多种证明方法。

1.2.1 利用罗尔中值定理证明拉氏定理。

罗尔定理具体描述如下。

倘若函数f（x）在R上满足以下三个条件：其一，闭区间[a，b]上函数f（x）连续;其二，开区间（a，b）内函数f（x）可导;其三，f（a）=f（b），则区间（a，b）内至少存在一个点ξ，使得 。与拉氏定理相比，罗尔定理多了第三个条件，换言之，当函数满足第三个条件时，拉氏定理就是罗尔定理，而罗尔定理只是拉氏定理的特殊形式，因此，可以用罗尔定理对拉氏定理进行证明[4]。

证明：根据拉氏定理公式构造辅助函数：

如果辅助函数F（x）满足罗尔定理三个条件，那么区间（a，b）内至少存在一点ξ，下列等式成立：

所以，           ，拉氏定理成立。

上述证明过程较为简单，但具有较强的抽象性，学生需要具备良好的逆向思维能力，才能构建出相应的辅助函数。

1.2.2 旋转法证明拉氏定理

使用这一证明方法，必须掌握拉氏定理的几何意义，即x=a和x=b处为光滑曲线的两个短端点，曲线内必然存在一点，该点处的切线与曲线上的端点连线平行。在原坐标系中，曲线的两个端点高度不同，倘若将坐标系进行恰当旋转，则可以使曲线的两个端点在新的坐标系中具有相同高度，且旋转后的坐标系中的曲线满足罗尔中值定理。

证明：假设曲线上的P、Q两个端点连成的直线l与x轴正半轴的夹角记为β，且0<β<π。坐标轴的原點O，将原坐标系进行逆时针旋转，旋转角度为α，则α=π-β。假设平面内任取一点N，其在原坐标系中坐标（x，y），变换后坐标（x’，y’），那么下列等式成立：

原坐标系中曲线表示为（x，f（x）），则曲线在新坐标系中表示为：

旋转坐标后曲线端点P、Q连成的直线l与X’平行，因此P、Q在新坐标系中高度是相同的，可表示为 。根据上述内容，在原坐标系基础上，构造相应的辅助函数 ，在闭区间[a，b]上函数F（x）连续，且在开区间（a，b）内F（a）=F（b），根据罗尔定理可知，区间（a，b）内至少存在一个点ξ，使得 ，则 ，那么下列等式成立。

1.2.3 作差法证明拉氏定理

作差法也需要利用罗尔定理，才能够证明拉氏定理。

证明：构造作差辅助函数：

由辅助函数可知，在闭区间[a，b]上F（x）连续，在开区间（a，b）内F（x）可导，且F（a）=F（b）=0，满足罗尔中值定理条件，因此，开区间（a，b）内必然存在一点ξ，能够使得下列等式成立：

则：

1.2.4 常数k值法证明拉氏定理

常数k值法证明拉氏定理的具体过程为将预证明的等式不含ξ的常数项设为k，根据等式构造与常数k相关的辅助函数，且构造的函数符合罗尔定理使用条件，进而可以推导证明拉氏定理。

证明：根据拉氏定理公式，将其进行变形，变形后的公式如下：

必然存在一個常数k，使得下列等式成立：

根据上述等式，可以构造辅助函数F（x）：

由辅助函数F（x）可知，其在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内F（x）可导，且F（a）=F（b），满足罗尔中值定理条件，因此，开区间（a，b）内至少存在一点ξ，能够使得下列等式成立：

可知，

那么公式得证：

1.2.5 积分法证明拉氏定理

积分法证明拉氏定理主要方法是将公式中ξ变为x，就可以得到函数f（x）的导数，利用不定积分求解方法，可以解得原函数f（x），利用移项变号将函数中任意常数移至等式同侧，另一侧即是证明拉氏定理需要构造的辅助函数。

证明：根据上述方法，构造证明拉氏定理的辅助函数：

辅助函数中x属于定区间[a，b]，根据积分的性质能够得到下列等式：

根据上述等式，显然函数F（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内F（x）可导，且F（a）=F（b）=0，满足罗尔中值定理条件，因此开区间（a，b）内至少存在一点ξ，能够使得 ，则下列等式成立：

可以得到：

1.2.6 行列式法证明拉氏定理

行列式法证明拉氏定理的主要思路为构造辅助函数F（x），使其包含法f（x），且满足罗尔中值定理，特别是F（a）=F（b），根据行列式性质，可以想到下列行列式在x=a和x=b时，计算结果为0，

根据上述联想到的行列式，可以构造相应的辅助函数F（x），具体证明过程如下。

证明：构造辅助函数：

将辅助函数中行列式展开，得到下列等式：

根据展开后的函数可知，由于f（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，因此辅助函数F（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，且代入函数可知F（a）=F（b）=0。根据罗尔定理可知，开区间（a，b）内存在点ξ，使得 ，则：

等式成立，拉氏定理得证。

上述给出的6种拉氏定理证明方法都需要构造辅助函数，且都需要根据罗尔定理，才能推导得到拉氏定理公式。可见，拉氏定理证明的关键在于辅助函数的正确构造，其构造方法变化多端，将复杂的问题简单化处理，不仅是解决拉氏定理证明问题的有效方法，而且是高等数学其他问题常用的数学思想之一。

2 拉氏定理的推广

拉氏定理是高等数学微分学部分的重要内容，在数学领域具有非常重要的地位，以其为数学工具可以研究函数的各类性质。在各类考试中，拉氏定理也是重要的考点，常应用于证明题或理论分析类题目。在实函数中，拉氏定理能够进行推广，可以有效拓宽拉氏定理的使用范围[5]。拉氏定理的相关推广如下。

定理1 假设函数f（x）和g（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，那么开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得下列行列式等于0，即：

证明：构造辅助函数F（x）：

函数f（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，且将a，b代入辅助函数可知，F（a）=F（b）=0，因此，辅助函数F（x）满足罗尔中值定理，则开区间（a，b）内必然存在一点ξ，可得 ，上述定理得证。

定理2 假设函数f（x）在（a，b）内可导，且        、       均存在，那么开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得下列等式成立：

证明：假设           、           ，构造辅助函数F（x）：

函数φ（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，则 。根据拉氏定理可知，开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得下列等式成立：

将 代入上式，可得：

定理3 假设函数f1（x），f2（x），……，fn（x）在开区间（a，b）内均为可导函数，且在闭区间[a，b]上连续，那么开区间（a，b）内必然存在一点ξ，能够使得行列式和式等于0。

证明：构造辅助函数F（x）：

函数F（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，根据罗尔中值定理可知，开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得 ，则上述定理得证。

定理4 函数f（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，且          ，那么开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得下列等式成立：

证明：构造辅助函数F（x）：

函数F（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，根据拉氏定理可知，开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得下列等式成立：

则                ，上述定理得证。

根據定理4证明过程，同理可得以下推论。

定理5 假设函数f（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，          ，       ，那么开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得下列等式成立：

定理6 假设函数f（x）在（-∞，+∞）内可导，且

均存在，那么开区间（-∞，+∞）内至少存在一点ξ，使得下列等式成立：

证明：假设         ，构造辅助函数F（t）=f（tant），其在开区间    可导，其导数如下：

由于             均存在，            存在，根据定理2可知，开区间    内必然存在一点n，使得下列等式成立：

，当        时，ξ为区间（-∞，+∞）中一点，根据：

可知，区间（-∞，+∞）至少存在一点ξ，使得下列等式成立：

进而定理得证。

除上述推论外，拉氏定理还有许多推广，一般会在解决实际问题时，根据需求进行合理推广，每个推广定理都与拉氏定理或罗尔定理密切相关，且各自具有不同特点，有效拓宽了拉氏定理的使用范围。对于拉氏定理极其推广定理而言，学生必须掌握以下两点内容，才能真正理解、掌握和灵活运用拉氏定理。其一，根据拉氏定理可知函数在区间内中值ξ存在，但其并不具备唯一性，一些特殊情况下，ξ并不能求出具体数值，但可将其作为数学工具证明其他定理。例如，根据拉氏定理，将公式

看作方程，可用于判断某个方程的根是否存在问题，用中值ξ的存在即可证明方程根的存在性。同时，拉氏定理中明确提出了中值是某个区间内的一点，因此，在解决实际题目时，可以利用    来确定    的取值范围，用于证明不等式相关问题[6]。其二，利用拉氏定理解决其他高等数学相关问题时，最重要的内容就是构造合理的辅助函数，一般可以将拉氏定理公式中

部分作为构造辅助函数的突破口，需要对其进行合理变形，得到辅助函数，便于进一步解决问题。

3 拉氏定理的应用

拉氏定理在高等数学中占据着十分重要的地位，学生在学习拉氏定理时不仅要了解定理的证明方法，掌握相关的推广定理，而且要学会利用定理解决实际问题。例如，利用拉氏定理求解极限、证明不等式或等式、研究函数的各种性质等，能够提高学生的解题效率，培养学生的数学思想，引导学生掌握正确的数学知识学习和应用方法。

3.1求解极限问题

高等数学微分学部分有许多求解函数极限问题的方法，常用的极限求解方法包括重要极限求解方法、有理化极限求解方法、直接带入求解极限、夹逼定理应用等，其中等价无穷小替换、泰勒公式和洛必达法则是求解极限问题的典型方法，在多数极限类问题中都会用到[7]。利用拉氏定理解决函数极限相关问题也是微分学中一种较为重要的解题方法，虽然使用频率较小，但针对部分特殊极限求解问题，其发挥着非常重要的作用。

例1 计算

解题步骤：构造辅助函数f（x） ，在闭区间[sinx，x]或[x，sinx]上，根据拉氏定理可知，下列等式成立：

且ξ为开区间（sinx，x）或（x，sinx）内的任意一点，当   时，根据介值定理可得 ，则可得出上述极限问题的答案，即：

3.2 证明不等式相关问题

根据给出条件构造相应的辅助函数，以拉氏定理为基础，可以对不等式一侧缩放，或者根据函数的单调性，对不等式进行合理证明[8]。

例2 假设e < a < b < e2，证明下列不等式

证明：根据不等式左侧式子，可以构造函数f（x）， ，函数f（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，根据拉氏定理可知，开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得下列等式成立：

构造辅助函数g（x），        ，e < a < b < e2，            ，根据x的定义域可知，        ，因此，定义域内函数g（x）单调递减，可知            ，       ，因此              ，上述不等式得证。

3.3 证明等式相关问题

利用拉氏定理内容可以直接证明等式相关问题，如果目标等式中含有f（a）、f（b）、ξ或f’（ξ），可以考虑使用拉氏定理对其证明。

例3 假设函数f（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，试证明         ，使得下列等式成立：

证明：根据等式，可以看到与拉氏定理公式的相似性。因此，可以使用拉氏定理对其进行证明。根据等式特征，构造辅助函数F（x），使F（x）=xf（x），函数F（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，根据拉氏定理，可知开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得下列等式成立：

將函数F（x）带入拉氏定理公式，可得：

3.4 函数性质证明问题

微分学中的中值定理是判断或证明函数性质的重要数学工具，作为核心微分中值定理，拉氏定理在函数性质判断中占据这十分重要的地位，如函数单调性问题证明、函数奇偶性问题证明等[9]。

例4 判断并证明定义域（0，+∞）内，函数

的单调性

证明：先对函数f（x）求导，可得：

在闭区间[x，x+1]上lnx满足拉氏定理条件，则                     ，从而可以得到：

根据函数单调性判断方法可知，当函数f（x）大于0时，函数f（x）单调增加。

3.5证明方程根的存在性问题

根据拉氏定理条件可知，如果f（a）=f（b），则能够得到拉氏定理特殊形式，即罗尔中值定理，能够用其证明方程是否存在根。具体证明时，题目中给出的方程根定义域必须是闭区间[a，b]，将方程构造为辅助函数，即可进行进一步证明。

例5 设f（x）在闭区间[0，l]内可导，且 0<f（x）<1，开区间（0，1）内所有点满足如下不等式f’（x）≠0，证明开区间（0，1）内方程f（x）+x-1=0存在唯一的实数根。

方程实数根存在性证明：构造辅助函数F（x），令F（x）=f（x）+x-1，函数F（x）在开区间（a，b）内可导，在闭区间[a，b]上连续，则F（0）=f（0）-1<0，F（1）=f（1）>0，根据方程根相关判断定理，可知开区间（a，b）内至少存在一个零点，而原方程至少存在一个实数根。

方程实数根唯一性证明：设开区间（0，1）内方程f（x）+x-1=0存在a，b两个实数根，假设0<a<b<1，那么f（a）=1-a，f（b）=1-b，根据拉氏定理条件可知，开区间（a，b）内必然存在一点ξ，使得下列等式成立：

从给出题目中已知，开区间（0，1）内所有点满足f’（x）≠0，而结论与题目给出条件相矛盾，因此，在开区间（0，1）内方程f（x）+x-1=0仅存在唯一的实数根。

拉氏定理在解决高等数学问题中使用的关键在于从题目给出的结论出发，分析题目可构造函数在哪一区间满足拉氏定理条件，以此为基础构造相应的辅助函数，并明确想要区间，根据拉氏定理的公式或推论对其进行进一步证明。解题过程中，构造辅助函数过程存在较强的技巧性，学生必须认真分析题目给出的条件，对其进行变形和推导，才能构造出符合题意的辅助函数。此外，解题过程中，还需要重视题目直观性和数学分析方法的结合，必要时可以结合函数几何意义帮助分析问题，以最简洁的方法解决问题。

4 拉氏定理的教学方法

拉氏定理与罗尔定理、柯西中值定理等内容相互联系，明确构建了导数与函数值间存在的定量关系，可以作为探究函数性质的数学工具，简化了函数性质探究的难度。引导学生学习和理解拉氏定理相关内容，掌握拉氏定理解决高等数学问题的方法，能够培养和提升学生的抽象思维能力、分析能力、概括能力和知识迁移能力，帮助学生在学习过程中形成严密的数学思维方式，提高解决问题的综合能力[10]。根据拉氏定理学习特征，可以利用以下教学方法激发学生的学习动力，帮助学生高效掌握拉氏定理相关内容。

第一，拉氏定理具有较强的抽象性，教师教学过程中需要创设合理的教学情境。证明拉氏定理，需要使用罗尔定理，因此，教师可以引导学生简单回顾罗尔定理条件、公式和几何意义，根据其几何意义对定理进行推广和拓展，发现坐标系中曲线端点高度不同时定理发生的变化，引入拉氏定理。

第二，拉氏定理的讲解必然会联系其几何意义，教师可以绘制坐标系和曲线图，引导学生猜测相关结论，发现曲线端点联系和曲线某点切线的平行关系，并使用标准的数学语言表述拉氏定理。

第三，根据得出的拉氏定理，结合罗尔定理内容引导学生分析证明拉氏定理的思路，分析证明拉氏定理可用的方法，培养学生的抽象思维和创新能力[11]。根据定理证明方法对拉氏定理进行合理推广，使学生明确常用的推广定理，并通过经典题目的解答，加深学生对拉氏定理的理解，提高学生对拉氏定理的运用能力。

拉氏定理是高等数学微分学部分的基础内容，在理论学习和解题应用中具有十分重要的作用，且具有明确的几何意义。实际学习中，深刻掌握拉氏定理内容，特别是特殊点ξ的含义理解难度较大。如果学生能够熟练掌握拉氏定理证明方法和推广定理，可以构造相应的辅助函数，将部分高等数学题目化繁为简，迅速得出正确结论。

参考文献：

[1]冉雨.闭区间上连续函数性质与微分中值定理的综合应用研究[J].财富时代，2021（6）：155-156.

[2]Yinshan Jiang. Discussion on the application of Lagrange mean value theorem[J]. Journal of Physics： Conference Series，2020，1682（1）.

[3]孙娜.拉格朗日中值定理的证法研究[J].高等数学研究，2020，23（5）：24-28.

[4]李红，高建，李厚彪.拉格朗日微分中值定理的推广与探讨[J].高等数学研究，2020，23（5）：18-19，37.

[5]陈亦佳，张美玲.拉格朗日中值定理的10个推广[J].玉溪师范学院学报，2019，35（6）：29-33.

[6]梁晓雯.对微分中值定理中ξ的渐进性的初步分析[J].江西电力职业技术学院学报，2020，33（6）：104-106.

[7]李源，郝小枝.利用拉格朗日中值定理計算极限的注记[J].大学数学，2019，35（1）：61-64.

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[9]李庆娟.拉格朗日中值定理及其应用探析[J].山西大同大学学报（自然科学版），2019，35（2）：34-37.

[10]张敏，廖毕文，刘俊.发现式教学模式在士官《高等数学》教学中的应用：《拉格朗日中值定理》设计案例[J].教育教学论坛，2018（37）：158-159.

[11]黄海松.拉格朗日中值定理的证明及应用[J].柳州职业技术学院学报，2018，18（3）：104-109.

Generalization of Lagrange's Mean Value Theorem and Its Application in Higher Mathematics Problem Solving

YANG Jinmei

（College of Preparatory Education， Qinghai University for Nationalities， Xining， Qinghai 810007，China）

Abstract： Lagrange's mean value theorem is a very prominent and important research achievement in the differential calculus of advanced mathematics. It occupies an extremely important position in the development of calculus. The core content can link functions and derivatives， lay the foundation for the promotion of the median value theorem in other differential calculus， and has important application value in theoretical research and practical production. The proof of Lagrange's mean value theorem is a common problem in advanced mathematics subjects for postgraduate entrance examinations， and it has certain difficulties. The key to proving the theorem is to use reverse thinking to construct auxiliary functions. The main methods include Rolle's theorem proof， rotation method Proof， constant k value proof and other methods， and generalize Lagrange's mean value theorem， broaden its practical scope， give full play to the value of mathematical research， can be used to solve limit， inequality， function， proof problems， can be problem-oriented Simplify the complex and facilitate the solution of mathematical problems.

Key words： advanced mathematics; Lagrange's mean value theorem; extension