陈建洲 李玉荣 (江苏省南京金陵中学河西分校 210019)

文[1]由一道几何试题引发深度思考，给出了9个问题的解题分析，其中对问题1—3的求解引发了笔者的进一步思考：为何要那样求解？有没有更自然、适切的解法？深度思考的意义何在？在此与作者商榷.

问题1如图1，在矩形ABCD中，CD=3，AD=4，在AD边上取点E，H，在AC上取点F，作正方形EFGH，连结AG，点E′是点E关于AG的对称点，AE′交BC于点P，则PC的长为.

图1

图1

图2

又∠PAM=∠DAG=∠M，所以PA=PM，设PA=x，则BP=7-x.

图3

解法4如图4，延长GF交AB于点M，交AP于点N，则∠NAG=∠HAG=∠AGN，所以NA=NG.

图4

评注 解法1—4添加的都是朴实的辅助线，构造出“角平分线+平行线=等腰三角形”等与角平分线有关联的基本图形，使用了面积法、勾股定理、相似三角形等基本计算工具，贴近学生思维发展区，解法自然、适切.

问题2如图5，正方形ABCD中，AB=6，E是BC边中点，将△ABE沿AE对折，使得点B与点F重合，AF与对角线BD交于点G，求线段GF的长．

图5

分析 此题文[1]是利用之前探究的结论求解的，笔者以为作为解答题显然不妥.有更自然的求解方法吗？要求线段GF的长，只需求线段AG的长，需借助△AGB或△AGD求解，但条件暂时不足．注意到∠AFE=90°，于是有两个基本思路：一是构造“一线三等角型”相似三角形；二是构造“双垂直共角型”相似三角形，最后借助“X型”相似三角形求解.

解法1如图5，过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，则MN=AB=6，AM=BN.

解法2如图6，延长AF,BC交于点H.

图6

设FH=k，则BH=2k，EH=2k-3，AH=6+k，所以6+k=2(2k-3)，解得k=4，所以AH=10，BH=8.

解法3如图7，延长AF交DC于点H，连结CF.

图7

因为EF=BE=EC，所以∠EFC=∠ECF，可得∠HFC=∠HCF，所以CH=FH.

解法4[2]如图8，延长AE,DC交于点H，延长AF交DC于点M.

图8

易证△ABE≌△HCE，可得CH=AB=6，DH=12，∠BAE=∠EHC=∠HAM，所以AM=HM.

评注 笔者分别给出了问题1、问题2的4种解法，或许还有更多的解法可以探索，这不远比套“公式”求解更能启迪思维？……