谭钧铭， 强会英， 刘欢， 王洪申

1.兰州交通大学 数理学院，兰州 730070；2.兰州理工大学 机电工程学院，兰州 730050

图G表示一个双圈图，图上的树的高度称为双圈图的有根树的高度．树上最长路的长度，称为有根树的高．V(G)，E(G)，Δ(G)分别是图G的点集合、边集合、最大度．dG(v)表示在图G中点v的度，Sφ(v)表示在φ下所有与点v相关联的边所染颜色构成的色集合，[k]表示{1，2，…，k}组成的色集合．GΔ表示图G的全体最大度顶点在图G中的导出子图．文中未加说明的符号可参见文献[9-12]．

1 预备知识

定义2[14]边数等于顶点数加1的简单连通图叫做双圈图．

定义3设图H是无悬挂点的双圈图，则H∈{H1，H2，H3，H4，H5}．

图1 无悬挂点的双圈图

2 主要结论

定理1记树高都为0的双圈图分别为H1，H2，H3，H4，H5(如图1所示)，则

表1 H1的邻和可区别边染色

现需证当r，s≡1(mod 3)，t≡0(mod 3)或r，s≡1(mod 3)，t≡2(mod 3)时，H1无3-NSDPEC．

若r≢1(mod 3)且s≢1(mod 3)．给出H5的一个3-NSDPEC：路xw1…wt-1y依次循环染1，2，3．令ywt-1染a，且{1，2，3}{a}={b，c}．当s≡0(mod 3)时，圈yv1…vs-1y依次循环染c，a，b；当s≡2(mod 3)时，圈yv1…vs-1y依次循环染b，c，a．圈xu1…ur-1x与yv1…vs-1y的染法相似．定理1成立．

将有根树的树高大于0且Δ(G)=3的双圈图分为3种：α-型双圈图，β-型双圈图，γ-型双圈图．

α-型双圈图：设图G是n阶双圈图(n≥16)，且同时满足：(a)Δ(G)=3，GΔ=∅；(b) 图G是在H1的基础上连接着树，且在连接(x，y)的3条路中，有任意2条路的路长都恒等于1(mod 3)，另一条路的路长恒等于2(mod 3)；(c) 在路长恒等于2(mod 3)的路中，存在内点z，使得(x，z)与(z，y)的路长均为1(mod 3)；(d) 任意v∈V(H1)z，dG(v)=dH1(v)．

β-型双圈图：设图G是n阶双圈图(n≥10)，且同时满足：(a)Δ(G)=3，GΔ=∅；(b)G中存在圈C，该圈圈长为r(r≡1(mod 3))，且圈上仅有1个3 度点．

γ-型双圈图：除α-型双圈图、β-型双圈图之外的Δ(G)=3的n阶(n≥4)双圈图．

情形1 有根树最大高度为1．

若图G是α-型双圈图．记路P1的长r≡1(mod 3)，路P2的长s≡1(mod 3)，路P3的长t≡2(mod 3)．在表1中r，s≡1(mod 3)，t≡2(mod 3)时4-NSDPEC的基础上，给出G的一个4-NSDPEC：因GΔ=∅，故t≥8．在H1中，点z与其圈上的2个邻点的色集合分别是{1，2}，{1，3}，{2，3}，则给z的悬挂边染3即可．

若图G是β-型双圈图．G只能由H5连接悬挂边所得，且悬挂边不可能同时在G的2个圈长都恒为1(mod 3)的圈上，也不可能在圈长为3的圈上，有可能在路w2…wt-2(t≥4)上．给G增加悬挂边，使G的3条路的所有顶点都有悬挂边(记该图为G0)．在定理1的H5的4-NSDPEC的基础上，给出G0的一个4-NSDPEC：路u2…ur-2上的ui(2≤i≤r-2)的悬挂边染4；路v2…vs-2上的vi(i≡2(mod 3))的悬挂边染3，其他点的悬挂边染2；路w2…wt-2上的wi(2≤i≤t-2)的悬挂边染4．

现在去掉所有添加的悬挂边，容易得到图G的一个4-NSDPEC．

情形2 有根树最大高度大于1．

选树上具有最大高度的路，其悬挂点为v．v的邻点w不在圈上，w仅有一个非悬挂邻点u．反证法：设G是一个极小反例，即G是Δ(G)=3，且使|V(G)|+|E(G)|最小的不存在4-NSDPEC的图，则G的任意真子图G′有一个4-NSDPECφ′．令G′=G-wv，下面在G′的基础上，给边wv染色，将φ′拓展为G的4-NSDPECφ．

若dG(w)≠dG(u)，则给边wv正常边染色就会使w与u邻点可区别．又因为dG(w)≤3，dG′(w)≤2，故在φ′下，w至少有2色未表现，总有一种色给wv，使得w与u邻和可区别，得到G的一个4-NSDPEC．与G是极小反例矛盾．

若dG(w)=dG(u)=2，则给边wv染上G′中点u未表现的色，即可使得w与u邻和可区别，得到G的一个4-NSDPEC．与G是极小反例矛盾．

综上所述，定理2成立．

定理3若图G是γ-型双圈图，则

证记图Gi是在Hi的基础上连接有根树得到的双圈图，因为Δ(G)=3，故i≠3．

情形1 有根树最大高度为1．

当G=G1时，根据图H1的3条路的路长，分以下几种情况讨论：

1) 若H1的3条路的路长是表1中除r，s≡1(mod 3)，t≡0(mod 3)或r，s≡1(mod 3)，t≡2(mod 3)之外的8种情况，则在定理1中H1的3-NSDPEC的基础上，给G所有悬挂边正常边染色，使G中所有3度点的色集合都是{1，2，3}，即得到G的一个3-NSDPEC．

2) 若H1的3条路的路长是r，s≡1(mod 3)，t≡0(mod 3)的情况．图G的悬挂点可以在P1，P2或P3上．

3)若图H1的3条路的路长是r，s≡1(mod 3)，t≡2(mod 3)的情况，证明方法与r，s≡1(mod 3)，t≡0(mod 3)的情况类似．

当G=G5时，方法与G=G1时类似．

2) 当H1是r，s≡1(mod 3)，t≡0(mod 3)情况时，给P1上的ur-1的悬挂边染3，其他点的悬挂边染4．给P2上的vs-1的悬挂边染3，点vi(i≡2(mod 3))的悬挂边染2，其他点的悬挂边染4．给P3上的wt-1的悬挂边染3，其他点的悬挂边染4．

3) 当H1是r，s≡1(mod 3)，t≡2(mod 3)的情况时，给wt-1的悬挂边染2，vs-1的悬挂边染1，其他悬挂边染4．

去掉所有添加的悬挂边，即得到G1的一个4-NSDPEC．

去掉所有添加的悬挂边，即得到G2的一个4-NSDPEC．若G=G4或G=G5，染法类似．

选树上有最大高度的路，其悬挂点为v．v的邻点w不在圈上，w仅有一个非悬挂邻点u．令G′=G-wv，下面在G′的基础上，给wv染色，将φ′拓展为G的s-NSDPECφ．

当dG(w)≠dG(u)时，若dG(w)=3，则给wv正常边染色，必有fφ(w)≠fφ(u)；若dG(w)=2，则dG′(w)=1，在G′中w有2色未表现，故总有1色给wv，使得fφ(w)≠fφ(u)，从而得到图G的一个3-NSDPEC．与G是最小反例矛盾．

当dG(w)=dG(u)时，给wv染上u未在G′表现的色，即得到G的一个3-NSDPEC．与G是最小反例矛盾．

当dG(w)≠dG(u)时，因dG(w)≤3，dG′(w)≤2，则在G′中w至少有2色未表现，则总有1色给wv，使得fφ(w)≠fφ(u)，从而得到G的一个4-NSDPEC．与G是最小反例矛盾．

当dG(w)=dG(u)，且φ′的点w表现的色都在u上表现时，则给wv染上u未在G′中表现的色，即可得到图G的一个4-NSDPEC．与G是最小反例矛盾．

当dG(w)=dG(u)，且φ′的点w表现的某色没在u上表现时，由于dG(w)≤3，dG′(w)≤2，则在G′中w至少有2色未表现，总有1色给wv，使得fφ(w)≠fφ(u)，从而得到G的一个4-NSDPEC．与G是最小反例矛盾．

综上所述，定理3成立．

定理4若图G是Δ(G)≥4的，且有根树最大高度大于0的双圈图，则

证记图Gi是在Hi(1≤i≤5)的基础上连接有根树得到的双圈图．

情形1 若有根树的最大高度为1，则根据有根树的位置和圈上相邻点的度分3种情况讨论．

情形1.1 图H上所有2度点z在图G中的度也为2，即dH(z)=dG(z)=2．则悬挂边只能在x或y处．不妨设dG(x)=k，dG(y)=l，且k≥l≥1．

又因为k≥l≥1，故dG(x)=Δ(G)，则对点x的所有悬挂边正常边染色就能使得点x与x的邻点邻和可区别，即得到图G的一个Δ(G)-NSDPEC．

当G=Gi(2≤i≤5)时，方法与G=G1类似．

情形1.2 图H上存在2度点z，使得dH(z)=2且dG(z)≥3，且对任意满足该条件的点z，有dG(z)=dG(z′)=dG(z″)．其中z′，z″是z在H上的2个邻点．

图2 满足情形1.2与情形1.3(2)的双圈图的基本结构

令G′=G-zz1-zz2，对zz1，zz2重新染色x1，x2．f′(z)表示在G′中z的色集合的所有元素的加和．边zz1，zz2可用颜色集分别为S1，S2，由正常边染色的条件得

|S1|=|S2|=(Δ(G)+1)-(Δ(G)-2)=3

再由邻和可区别边染色的条件得

Q(x1，x2)=(x1-x2)(x1+x2+f′(z)-f(z′))(x1+x2+f′(z)-f(z″))

情形1.3 图H上存在一个2度点z，使得dH(z)=2且dG(z)≥3，且dG(z)≠dG(z′)．其中z′，z″是点z在H上的2个邻点．

1) 当H=H3，Δ(G)=4，且x是G的唯一最大度点时．令G′=G-zv，zv是悬挂边．因3度点z与其邻点仅有1+2+3=2+4，1+2+4=3+4邻和相等的情况．故z与z′，z″的公共边染2，4，导致z最多与一个2度点邻和相等．在G′的4-NSDPEC的基础上，zv有2色未表现，则总存在1色给zv，得到G的一个4-NSDPEC．与G是最小反例矛盾．

2) 其他情况时，令G的最大度点为u，uv是悬挂边．令G′=G-uv，对uv正常边染色即得到G的一个Δ(G)-NSDPEC．与G是最小反例矛盾．

令G′=G-uu1，则对uu1重新染色x1．记uu1可用颜色集为S1．由正常边染色的条件得

|S1|=(Δ(G)+1)-(dG(u)-1)≥(Δ(G)+1)-(Δ(G)-2)=3

再由邻和可区别边染色的条件得

Q(x1)=(x1+f′(u)-f(u′))(x1+f′(u)-f(u″))

情形2 有根树的最大高度大于1．

选树上具有最大高度的路，其悬挂点为v．点v的邻点w不在圈上，且w仅有1个非悬挂邻点u．令G′=G-wv，下面在G′的基础上，给边wv染色，将φ′拓展为G的s-NSDPECφ．

当dG(w)≠dG(u)时，给wv正常边染色可使Sφ(w)≠Sφ(u)．故给wv染色时，只需考虑fφ(w)与fφ(u)是否相等．若dG(w)=Δ(G)，给wv正常边染色，必有fφ(w)≠fφ(u)；若dG(w)≤Δ(G)-1，则dG′(w)≤Δ(G)-2，即在G′中w至少有2色未表现，且最多有1色给wv，使得fφ(w)=fφ(u)．故总有1色给wv，使得w与u邻和可区别，从而得到G的一个Δ(G)-NSDPEC．与G是最小反例矛盾．

当dG(w)=dG(u)，且φ′的点w表现的色都在u上表现时，给边wv染上点u未在φ′中表现的色，即可得到图G的一个Δ(G)-NSDPEC．与G是最小反例矛盾．

当dG(w)=dG(u)，且φ′的点w表现的某色未在u上表现时，由于dG(w)≤Δ(G)-1，则dG′(w)≤Δ(G)-2，即在G′中w至少有2色未表现，且最多有1色给wv，使得fφ(w)=fφ(u)．故总有1色给wv，使得w与u邻和可区别，从而得到G的一个Δ(G)-NSDPEC．与G是最小反例矛盾．

综上所述，定理4成立．