邵勇

周末，宁宁做完作业后，正在家里百无聊赖地摆弄花草。这时，宁宁接到了小明的电话。小明在电话里故作神秘地说：“宁宁，我得到了一个奇怪又好玩的玩具，现在带过去给你看看！”

放下电话，宁宁期待起了小明所说的奇怪玩具：到底是什么样的玩具呢？过了一会儿，小明就到了宁宁家门口，未见其人先闻其声：“宁宁，快开门，我带着玩具来了！”一进门，小明就递上来两个四四方方的盒子，说：“数字华容道来也。”还没等宁宁看清楚玩具的细节，小明就快速地讲了一大堆游戏规则，还让宁宁和他进行比赛，看谁先完成游戏。

数字华容道的玩法是：通过移动数字木块，把混乱排列的数字摆成从小到大的排列顺序。

宁宁一边回忆小明刚刚说的游戏规则，一边摆弄手中的华容道玩具。突然，宁宁手一滑，她手中的华容道就摔在了地上，里面的数字木块都被摔出来了。小明眼疾手快，先把他手中的华容道塞到宁宁手里，再一把捞起地上的数字木块，胡乱地塞回去。匆忙间，宁宁发现自己手中华容道的数字木块排列顺序和小明手中的并不一样。

随着小明的一声“开始”，两人快速滑动着华容道里面的数字木块。过了一会儿，宁宁率先完成了，却发现小明还在捣鼓着手中的华容道。小明嘴里还念念有词：“怎么8一直在7的前面，挪不过去呢？”宁宁幸灾乐祸地说：“肯定是你刚刚乱塞的原因。”

按照从左至右、从上至下的顺序看，小明的华容道结果为“12345687”，这并不是一个正确的结果。而宁宁的结果才是正确的。

百变逆序数

为什么小明和宁宁的华容道结果会不一样呢？我们先研究一下华容道中蕴藏的数学原理。下面两幅图分别是华容道中八个数字木块的不同排列情况，（1）中的数字排列没有规律，（2）中的数字排列看上去就整齐多了。

按照从左至右、从上至下的顺序，（2）中的八个数字木塊排列相当于“12345678”。那么，这个数字排列不存在逆序的情况。

逆序是指一个数字排列中存在前面的数字比后面的数字大的情况。比如在“3518”中，“3”比它后面的“1”大，所以，该数字排列存在逆序的情况。而“1358”就不存在逆序的情况。

逆序是指一个数字排列中存在前面的数字比后面的数字大的情况。比如在“3518”中，“3”比它后面的“1”大，所以，该数字排列存在逆序的情况。而“1358”就不存在逆序的情况。

逆序数是指一个排列中逆序的个数。比如，“321”的逆序数是3，因为“3”比“2”大，“3”比“1”大，“2”比“1”大。排列“5392”的逆序数是4，因为“5”比“3”大，“5”比“2”大，“3”比“2”大，“9”比“2”大。

下面我们来关注逆序数的奇偶性，并且研究华容道中一个数字木块左右、上下移动会对逆序数及其奇偶性产生什么影响。

图1是数字华容道最终要得到的结果，它的逆序数是0，为偶数。如果我们把“8”左右移动，则不影响总排列“12345678”的逆序数。而把一个数字木块上下移动，逆序数则会发生变化，但逆序数的奇偶性不变。

我们不妨实际操作一下。把图1中的“6”向下移动，这相当于把“6”移到“7”和“8”之后，于是产生了两个逆序：“76”和“86”，而“6”“7”“8”这三个数仍然在“1”“2”“3”“4”“5”之后。所以，总逆序数就是2，逆序数由0变为2，其奇偶性不变。

我们再来看一下图2的情况。如果把“5”向下移动，也就是把“5”移到“8”和“4”之后。那么，原来存在的逆序“54”消失，产生一个新的逆序“85”。至此，逆序数不变，其奇偶性也不变。

还有一种情形，如图3所示。把“5”向下移，因为“5”后面的两个数“3”和“4”都比“5”小，所以原来的两个逆序“53”和“54”都消失了，但逆序数的奇偶性仍然不变。

以上三种情况是全部可能的情况。向上移动也类似。总之，向上或向下移动数字木块，相当于把一个排列中的某一个数向前或向后移动两位，逆序数加2、减2或不变，即逆序数的奇偶性不变。所以，我们可以得到一个有趣的结论。

如果逆序数是偶数，那么，我们就可以通过移动数字木块，把混乱排列的结构变换成数字按照从小到大的排列顺序。而如果逆序数是奇数，那就没办法做到。

因此，我们可以确定，小明的华容道出现“12345687”的结果是因为其初始的逆序数为奇数，所以无法将华容道中的数字木块还原成“12345678”的排列顺序。

一起数一数

我们来数一数“37254816”的逆序数吧。最简单的方法是计算每个数后面有多少个比它小的数，这样可以得到“37254816”的逆序数。

2+5+1+2+1+2+0+0=13

正像大多数人习惯使用右手，但仍然有一些人习惯使用左手一样，计算逆序数的方法也有两种。下面介绍另外一种计算逆序数的方法，即计算每个数前面比它大的数的个数。我们仍然可以计算出“37254816”的逆序数。

0+0+2+1+2+0+6+2=13

一个简单的数字华容道游戏，竟然蕴含着这么有趣的数学思想。只要肯挖掘，生活中处处都有数学！

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