董亚亚

由于“双变量”问题能够较好地考查学生分析问题、解决问题的实际能力，突出地体现了抽象思维能力、逻辑推理能力以及数学运算求解能力在解题中的灵活、综合运用，所以此类试题备受各级各类考试命题者的青睐.那么，如何突破双变量问题，提升数学核心素养呢？为了有效解决这个问题，本文拟通过归类解析的形式加以具体剖析，旨在帮助学生理清常用解题策略，进一步培养学生的数学核心素养以及良好的数学思维品质.

一、双变量不等式恒成立问题

由于以函数为载体设置的“双变量”不等式恒成立问题，往往与函数的单调性具有某种紧密联系，所以处理此类问题的关键就是在适当变形的基础上，准确分析恒成立不等式的外在结构特点，以便灵活构造新函数，并运用新函数的单调性，巧妙求解目标问题.

1.根据“双变量”分式不等式恒成立，求参数的取值范围

一般地，遇到含有“双变量”的分式不等式恒成立，可通过去掉分母进行适当的变形，使得不等式两边的外在结构相同，从而便于构造函数，并灵活运用函数的单调性解题，

评注 根据题设条件，将分式不等式转化为整式不等式，有利于帮助迅速发现不等式的外在结构持点，进而极易想到构造函数，并灵活运用函数的单凋性巧妙解决目标问题.

2.根据“双变量”绝对值不等式恒成立，求参数的取值范围

一般地，遇到含有“双变量”的绝对值不等式恒成立，可借助函数的单调性以及不等式知识，灵活去掉绝对值实施适当变形，使得不等式两边具有相同的外在结构，从而有利于构造新函数，并灵活运用新函数的单调性，顺利求解参数的取值范围，

评注 本题设出x1，x2的大小关系，可将题设约束条件中的两个绝对值符号去掉，显然有利于发现不等式具有的外在结构特点，进而构造新函数，并借助导数知识可获得含参不等式恒成立，最后利用“分离参数法”即可顺利求解参数的取值范围，

二、涉及“任意、存在”字眼的双变量问题

处理涉及“任意、存在”字眼的双变量问题时，首先要准确理解全称量词“任意”与存在量词“存在”的具体含义：其次解题最关键的地方就是将题设已知条件中含有全称量词或存在量词的约束条件，等价转化为两个函数值域之间的关系，或者等价转化为两个函数最值之间的大小关系：最后再通过构建不等式组或不等式进行灵活分析、求解.

1.根据“任意、存在型等式成立”，求参数的取值范围

一般地，如果题设条件中给出了“对任意x1∈A，都存在x2 ∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”，对于这样的双变量问题，可将之等价转化为：函数厂（x）的值域（当X∈A时）是函数g（x）的值域（当x∈B时）的子集，然后再通过构建不等式组即可顺利获解.为了便于记忆，可将此转化策略简记为“任意值域是存在值域的子集”.

评注 本题求解关键点有两个：一是将“任意、存在型等式成立”问题，等价转化为两个函数值域的包含关系：二是根据值域的包含关系，准确构建含有参数的不等式组.

2.根据“存在、存在型等式成立”，求参数的取值范围

评注解题关键点：一是将“存在、存在型等式成立”问题，等价转化为两个函数值域的交集非空;二是灵活借助求补思想（因为直接分析较为繁琐），巧妙求解参数的取值范围.

3.根据“任意、存在型不等式成立”，求参数的取值范围

（1）如果题设条件中给出了“对任意x1∈A，都存在x2，∈B，使得f（x1）

（2）如果题设条件中给出了“对任意x1，∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）>g（x2）成立”，对于这样的双变量问题，可将其等价转化为：函数f（x）的最小值（当x∈A时）大于函数g（x）的最小值（当x∈B时），然后再通过解不等式即可顺利获解.为了便于记忆，可将此转化策略简记为“任意的最小值大于存在的最小值”，

评注 本题涉及双勾函数、指数函数与不等式知识的综合运用，具体解题时，首先要理清题设约束条件可等价转化为两个函数最大值之间的不等关系，然后准确构建不等式求解，

总之，结合上述归类解析可知：分析、解决双变量问题，必须以题设含有双变量的约束条件做为解题的切入点，如果是双变量不等式恒成立，则需要在适当变形的基础上，灵活构造函数，并运用函数的单调性解决问题：如果是涉及“任意、存在”字眼的双变量问题，则需要在等价转化的基础上，灵活运用函数的值域（或者最值），構建不等式组（或者不等式）解决问题，一言以蔽之，突破双变量问题，能够提高学生的解题能力，提升数学核心素养.

（收稿日期：2022 - 03 - 02）C67D70A0-60EF-486A-8BDD-4C4CE3174891