杨勇 叶红艳

斜抛运动常见的有只有重力作用下的抛体运动、带电粒子在匀强电场的类斜抛运动，质点在多力等效下的类斜抛运动，这几中情景下的匀变速曲线运动，是中学阶段的难点知识，但是此类运动对帮助学生理解运动的合成与分解和处理曲线运动的方法具有指导性的作用，因此深度分析此斜抛运动的规律和处理方法，有助于提高学生的思维能力，培养学生物理核心素养.本文将以2021年江苏高考第9题为例分析斜抛运动的一些方法和进阶思路.

一、斜抛运动的高考典例分析

例l （2021年江苏高考物理第9题）如图l所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落人篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（

）.

A.A比B先落人篮筐

B.A、B运动的最大高度相同

C.A在最高点的速度比B在最高点的速度小

D.A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同

试题分析 本题是以学生经常接触到的投球为载体，重在考查学生的模型建构能力和数学运用能力，考查斜抛运动的基本规律和对称性问题，因此本题的关键点是构建模型.

解析 首先模型构建，由于两次投球的高度一样，可以把题述中的投球抽象为如图2所示的抛体运动模型，同时把篮球看成质点模型，

其次，结合斜抛运动的规律，把符合斜抛运动规律的选项先排除，由于落入篮筐时速度方向相同即运动模型图2中的P点的速度方向相同，由于斜抛运动轨迹具对称性，则两球在与P点等高的位置的速度方向相同，则D选项正确，

对于A、B、C三个选项中不能直接应用规律，只知道A球的水平位移大于B球的水平位移，由于斜抛运动可以水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的匀变速直线运动，只要知道小球速度的水平分量的大小或者小球运动的时问大小即可突破以上三个问题.

解法一正交分解，由于篮球落入篮筐时速度的方向相等，则逆向可以认为篮球从篮筐处以同一方向的斜抛运动，为了研究其运动规律，以篮筐为坐标原点建立直角坐标系如图3所示.

设小球A的运动时间为tA、达到篮筐时的速度为VA;小球B的运动时间为tB、达到篮筐時的速度为VB，把小球的运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的抛体运动，则：

由于两球的竖直位移相等，则通过以上的分析可知VA >VB，则小球A速度的竖直分量大于小球B的速度竖直分量的速度，因此，A球上升的高度大于B球，则B选项错误;由于在最高点只有水平方向的速度，则在最高点时，A球的速度比B球的速度大，则C选项错误.

解法二应用斜分解，为了让物体的运动变得简单，更能体现矢量合成与分解的本质，同理逆向把球看成是从篮筐的逆向斜抛运动，构建如图4所示的斜坐标，

如图4所示，两小球沿着x做匀速直线运动，y方向为自由落体运动，则球的分运动与和运动的矢量图如图4所示，根据合位移与各分位移之间的关系，可以得到1/2gt4>1/2gtB，所以有tA>tb.由于时间和落入篮筐的速度为解决本题的突破口，只要能判断时间或者速度的大小关系，则相应的问题即可迎刃而解，接下来的分析与解法一相同，这里不再赘述.

评价 以上三种方法从不同的角度分析斜抛运动的解题方法，每个方法都有各自的优点.方法一是常规的方法，应用正交分解处理物理问题，主要是体现了把复杂问题简单化的物理解题思想，也是学生最容易接受的方法，正交分解法与数学知识非常的紧密，因此学生更能接受，但是要通过正交分解法通过数学的形式把物理规律表达出来并且分析其意义，这是很多学生面临的最大困难，也是学生觉得物理比数学难的主要原因.首先要写出正确的运动学方程，包括正负的选择，其次是把写出的运动学表达式结合问题进行选择性的变化和讨论，所以方法一的优点是学生容易理解，缺点是学生很难进行目标性的变换公式和讨论.方法二优点是运动分解简单，不需要大量的几何关系和三角函数关系，同时很好地体现运动的矢量合成，但是由于坐标选择比较独特，与数学常见的坐标不相同，很多学生接受可能有一定的难度，方法三在推导斜面上物体的位移计算比较繁琐，但是能记住一些特殊的结论和规律，对解决问题的效率会大有提高.对以上的三种解题方法，每一种方法都有自己的优缺点，相比之下方法二利用斜分解更直观，可以避免复杂的数学运算和三角函数计算，

二、斜分解在高考试题的应用

例2（山东省2021年高考第17题）某离子实验装置的基本原理如图7所示.I区宽度为d.左边界与x轴垂直交于坐标原点O.其内充满垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0;Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于O.点，右边界与x轴垂直交于O2点，其内充满，，轴负方向的匀强电场.测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与O2点重合.从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经I区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C.已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为θ忽略离子间的相互作用，不计重力.

（1）求离子在I区中运动时速度的大小v;

（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E;

试题分析带电粒子在第1区匀速圆周运动，描绘运动轨迹结合几何关系可以得到半径的大小，根据匀速圆周运动的公式即可算出速度的大小：在第Ⅱ区由于只受电场力，则粒子做匀变速曲线运动.这种物理情景是带电粒子在组合场中的运动，在磁场中，首先确定圆心、找半径，利用匀速圆周运动公式求解：在电场中做类斜抛运动，常用的处理方法是建立直角坐标系，把运动分成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动，但是为了使问题简单，充分体现运动的合成与分解思想，直接应用斜分解较为简捷，

方法二 斜分解法

建立斜分解如图8所示，由于带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，所以可以把其运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动，则两分运动与运动的矢量和如图8所示，有几何关系：

评价 两种方法在物理思想上都是利用运动的合成与分解的方法，但不同的是正交分解在分解时两运动方向必须相互垂直，而斜分解比较灵活，只要明确物体的初速度方向和受力方向即可，从两种解法对比来看，正交分解分解的物理量比较多，分解速度和位移，分别建立丽个方向的运动学表达式，最后根据题意进行合成，则正交分解时先分解后合成，在解题过程上比较繁琐，不注意容易计算错误;而斜分解比较灵活，并且直观，只要明确物体的运动情况，即可找到各分运动与合运动之间的关系，而此方法注重的是几何关系的应用，虽然没有复杂的运动学公式，但是必须要求学生掌握一定的数学基础，比如正弦定理、余弦定理等数学方法，从两种解题方法来看，虽然第一种学生容易接受，但是运算过程繁琐：第二种比较灵活，但是几何关系比第一种稍微复杂.从提升学生物理学科素养的角度来看，斜分解对培养学生应用数学知识处理物理问题的能力上比正交分解更灵活、更有效，同时斜分解很好地促进学生对矢量合成的理解，因此在教学和练习中，加强解题思维的培养和训练，对学生思维的发散性和创新性具有重要的作用.

三、斜抛运动规律的拓展分析

例3如图9所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后垂直打在篮板的同一个点，篮球的抛出点的水平距离为s.A、B两篮球抛出时的速度大小分别为vA、vB，速度与水平方向的夹角为θA、θB，求两球击中篮板前的最小距离？

解析 对于曲线运动的相对运动问题，如果直接写出运动公式进行讨论，会存在一定的难度，但是充分抓住物体的运动条件，由于两球从同一水平面同时抛出.由于竖直方向只受重力，则竖直方向的运动步调是一样的，所以可以把球的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，选B球为参考系，则A相对于B的速度与A、B相对地面的速度的矢量關系如图10所示，设4相对B的速度为v且v与水平面的夹角为β，则A与B的最小距离d=s.sinβ.

则把β带入d=s.sinβ即可算出两球的最近距离，同时也可以计算出两球距离最近时的时间.

以上的对高考题出现的斜抛问题处理方法的讨论和分析，从几种方法的分析和讨论来看，处理运动运动合成与分解中正交分解不一定是最占优势的方法，而选用适当的结论和分解法对问题的处理更直观，同时也可以避免一些复杂的运算.因此在备考复习冲刺阶段，在指导学生进行有效的复习时，应该注重模型的构建和解题方法的提炼，不断拓展学生的看待问题的视野，从而提高学生的创新思维，